Основные теоретические сведения. Резонансомв электрической цепиили на участке, содержащем катушки индуктивности и конденсаторы, называется явление

Резонансомв электрической цепиили на участке, содержащем катушки индуктивности и конденсаторы, называется явление, при котором гармонические напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. Цепь, состоящая из параллельно соединенных индуктивной и емкостной ветви, в которых наблюдается резонанс токов, называется параллельным колебательным контуром.

а	б
Рис. 6.1. Параллельный колебательный контур

На рис. 6.1, а приведена схема параллельного колебательного контура. При резонансе реактивные составляющие токов в катушке индуктивности и конденсаторе компенсируют друг друга (рис. 6.1, б).

В режиме резонанса ток и напряжение на входе контура совпадают по фазе. Определим токи в ветвях:

(6.1)

(6.2)

(6.3)

где , и – активные проводимости ветвей;

, и – реактивные проводимости ветвей;

– комплексная проводимость контура;

_, – активные составляющие токов ветвей;

– реактивные составляющие токов ветвей.

С учетом и определим проводимости ветвей:

(6.4)

(6.5)

Токи и в параллельных ветвях контура могут во много раз превышать входной ток, поэтому резонанс в параллельном контуре называют резонансом токов. Отношение токов (коэффициент передачи по току) является одной из важных частотных характеристик контура (например, между током через емкость и входным током):

(6.6)

Входное комплексное сопротивление контура:

(6.7)

Комплексное действующего значения входного тока:

(6.8)

Комплексная частотная характеристика для схемы рис. 6.1, а:

(6.9)

С учетом (6.4) и (6.5) можно определить частотные характеристики для параллельного контура:

(6.10)

(6.11)

(6.12)

(6.13)

При резонансе должно выполняться условие:

и (6.14)

Из условия (6.14) с учетом и можно определить резонансную частотудля параллельного колебательного контура

, (6.15)

где и – резонансная частота и характеристическое сопротивление последовательного контура соответственно.

Как видно из (6.15), резонансная частота , в отличие от частоты , зависит от активных потерь в катушке индуктивности и конденсаторе. Если потери в активных сопротивлениях контура малы: , то такой контур считается идеальным, а резонансные частоты последовательного и параллельного контура совпадают: Анализ выражения (6.15) показывает, что резонанс в контуре происходит при значениях или при больших же значениях потерь ( , ) резонанс не наблюдается.

На резонансной частоте реактивные проводимости ветвей равны между собой и называются характеристической проводимостьюпараллельного колебательного контура (обратная величина характеристическому сопротивлению

Отношение действующего значения тока реактивного элемента к входному току параллельного колебательного контура на резонансной частоте называется добротностьюпараллельного колебательного контура:

(6.16)

На рис. 6.2 показаны частотные характеристики входного сопротивления и параллельного контура.

В резонансном режиме модуль входного сопротивления достигает максимального значения а у идеального контура его значение равно бесконечности. ФЧХ показывает, что при изменении частоты входное сопротивление носит индуктивный характер, а в диапазоне – емкостный. Как видно, резонансная частота в параллельном контуре теперь зависит не только от параметров реактивных элементов, но и от значения сопротивлений потерь в ветвях. На ФЧХ входного сопротивления видно, что значения фазы, равные нулю, достигаются при различных значениях частоты.

а	б
Рис. 6.2. Частотные характеристики входного сопротивления параллельного колебательного контура

На рис. 6.3 показаны частотные характеристики входного то-ка (6.11) и параллельного колебательного контура.

а	б
Рис. 6.3. Частотные характеристики тока

Минимального значения ток достигает при резонансе, а его численное значение определяется величиной активной проводимости контура.

На рис. 6.4 показаны характеристики АЧХ и ФЧХ φ_к(ω) передаточной функции по напряжению, рассчитанные по формулам (6.13) для параллельного контура, включенного последовательно с резистором R (рис. 6.1, а).

а	б
Рис. 6.4. Частотные характеристики коэффициента передачи по напряжению

По этим характеристикам может быть определена полоса пропускания, равная разности граничных частот:

Для контуров, имеющих высокое ( >> и >> ) значение добротности, добротность Q, резонансные частоты последовательного и параллельного колебательного контуров совпадают а значение характеристического сопротивления

Для увеличения добротности параллельного резонансного контура сопротивление в ветви с конденсатором убирают , а в ветви с катушкой индуктивности оставляют только активное сопротивление провода обмотки.

Для расчета частотных характеристик (6.10)–(6.13) контуров с высокой добротностью и в режиме, близком к резонансу, можно пользоваться приближенными формулами:

- входное сопротивление:

(6.17)

- коэффициент передачи по току:

(6.18)

где – добротность контура;

обобщенная расстройка;

– резонансная частота.

Добротность контура определяет полосу пропускания:

Для увеличения добротности контура вместо катушек индуктивности используют электронное устройство (гиратор – инвертор сопротивления), выполненное с применением операционных усилителей. Такого рода устройства называются активными фильтрами. Индуктивность гиратора может достигать тысяч Генри при меньших габаритах, по сравнению с обыкновенными катушками индуктивности.