Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Практическая работа № 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция




Читайте также:
  1. E) Работа в цикле
  2. II. Работа над текстом и его оформление
  3. IV. Работа над задачами.
  4. IV. Работа над задачами.
  5. IV. Работа над задачами.
  6. IV. Работа над задачами.
  7. IV. Работа над задачами.
  8. IV. Работа над новым материалом.
  9. IV. Работа над новым материалом.
  10. IV. Работа над новым материалом.

 

Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» - 2 часа.

План занятий:

1. Актуализация понятий обратимая и обратная функции, геометрического смысла обратимости, графика обратной функции, свойств таблицы значений обратимой и обратной функции, сплайн-функции.

2. Повторение постановок задач интерполяции с простыми и кратными узлами, интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона и Эрмита, геометрического смысла интерполяции, оценок погрешности интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита, кусочно-многочленной, сплайновой и обратной интерполяции.

3. Решение примеров.

4. Консультирование студентов по выполнению домашней работы.

Рассматриваемые примеры:

1. Дана таблица значений некоторой функции .

x -1
y -1

Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона. По этой же таблице провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона . Сравнить полученные результаты.

Решение:

Подставим в общую формулу для многочлена Лагранжа значения (i=0,1,2,3) и приведем многочлен к стандартному виду.

0+

.

Запишем многочлен Ньютона в общем виде:

.

Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.

, , , ,

, .

 

 

i
-1 -1      
         
   
       
   
         
     

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:

.

Проведем обратную интерполяцию, для чего построим теперь интерполяционный многочлен . Запишем его в общем виде:

.

 

Найдем разделенные разности и запишем их в таблицу.

 

, , , ,

, .

 

 

i
-1 -1      
         
   
       
   
         
     

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:

.

Графики уравнений , и = , , очевидно, различны, но довольно близки. Близость графиков связана с тем, что график многочлена есть приближение для графика функции , а график уравнения есть приближение для графика уравнения , совпадающего с графиком функции .



 

2. Дана таблица значений некоторой функции и её производной:

x -1
y -1
   

 

Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита .

Решение:

Запишем многочлен Эрмита в общем виде:

= .

Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.

 

, , , ,

, .

 

i
-1 -1      
         
  -1  
       
   
         
     

 

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности. Получим:

= .

3. Дана функция . , . Строятся интерполяционный многочлен и многочлен Эрмита , которые используются в качестве приближений этой функции. Найти оценки погрешности этих приближений в точке .

Решение:

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа находится по формуле:

.

Здесь - верхняя граница на .

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита находится по формуле:

.

Здесь - верхняя граница на .

Для дальнейших вычислений найдем постоянные и . Для этого найдем производные функции:

, , . Оценим модули старших производных на :

.

Здесь использовано свойство модуля (модуль суммы не превышает суммы модулей), а также то, что на выполнено: , , . Таким образом, =14.

. Здесь использовано также то, что . Таким образом, =38.

Теперь вычислим искомые оценки:

, .

 

4. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный многочлен Лагранжа , который используется для приближения функции .

Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного многочлена по заданному значению x. Записать его на алгоритмическом языке.



Решение:

Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b. Результат: значение многочлена Лагранжа y. В алгоритме используются два цикла. Внешний цикл – для вычисления суммы, а внутренний – для вычисления произведения. Массив не вводится. Значения непосредственно подставляются в формулы.

 

алг Интерполяционный многочлен (аргвещ x, a, b; цел n; резвещ y)

начцел i, j; вещ p, h

y:=0;

нцдля i от 0 до n

p:=f(a+ih)

нцдля j от 0 до n

если i j

то

Все

Кц

y:=y+p

Кц

Кон

5. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный сплайн. Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного сплайна по заданному значению x.

Решение:

Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b.

Результат:

Значение интерполяционного сплайна y. Последовательность действий описана в теории. Запишем ее с учетом условия равномерности сетки точек , из которой следует, что .

1. .

2. , .

3. , .

4. Решение следующей системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

,

, ,

.

Эта система совпадет со стандартным видом системы, которая решалась методом прогонки, если n заменить на M, заменить на (не перепутайте их с величинами, вычисляемыми в пункте 2 нашего алгоритма). При этом

, ,

, .

Поэтому решать эту систему целесообразно методом прогонки.

В результате решения системы будут найдены величины .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. Вычисление номера отрезка, которому принадлежит значение аргумента x: .

10. Вычисление значения сплайна:

.

 


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 22; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.036 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты