Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Практическая работа № 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция




 

Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» - 2 часа.

План занятий:

1. Актуализация понятий обратимая и обратная функции, геометрического смысла обратимости, графика обратной функции, свойств таблицы значений обратимой и обратной функции, сплайн-функции.

2. Повторение постановок задач интерполяции с простыми и кратными узлами, интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона и Эрмита, геометрического смысла интерполяции, оценок погрешности интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита, кусочно-многочленной, сплайновой и обратной интерполяции.

3. Решение примеров.

4. Консультирование студентов по выполнению домашней работы.

Рассматриваемые примеры:

1. Дана таблица значений некоторой функции .

x -1
y -1

Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона. По этой же таблице провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона . Сравнить полученные результаты.

Решение:

Подставим в общую формулу для многочлена Лагранжа значения (i=0,1,2,3) и приведем многочлен к стандартному виду.

0+

.

Запишем многочлен Ньютона в общем виде:

.

Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.

, , , ,

, .

 

 

i
-1 -1      
         
   
       
   
         
     

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:

.

Проведем обратную интерполяцию, для чего построим теперь интерполяционный многочлен . Запишем его в общем виде:

.

 

Найдем разделенные разности и запишем их в таблицу.

 

, , , ,

, .

 

 

i
-1 -1      
         
   
       
   
         
     

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:

.

Графики уравнений , и = , , очевидно, различны, но довольно близки. Близость графиков связана с тем, что график многочлена есть приближение для графика функции , а график уравнения есть приближение для графика уравнения , совпадающего с графиком функции .

 

2. Дана таблица значений некоторой функции и её производной:

x -1
y -1
   

 

Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита .

Решение:

Запишем многочлен Эрмита в общем виде:

= .

Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.

 

, , , ,

, .

 

i
-1 -1      
         
  -1  
       
   
         
     

 

Подставим в общую формулу значения и разделенные разности. Получим:

= .

3. Дана функция . , . Строятся интерполяционный многочлен и многочлен Эрмита , которые используются в качестве приближений этой функции. Найти оценки погрешности этих приближений в точке .

Решение:

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа находится по формуле:

.

Здесь - верхняя граница на .

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита находится по формуле:

.

Здесь - верхняя граница на .

Для дальнейших вычислений найдем постоянные и . Для этого найдем производные функции:

, , . Оценим модули старших производных на :

.

Здесь использовано свойство модуля (модуль суммы не превышает суммы модулей), а также то, что на выполнено: , , . Таким образом, =14.

. Здесь использовано также то, что . Таким образом, =38.

Теперь вычислим искомые оценки:

, .

 

4. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный многочлен Лагранжа , который используется для приближения функции .

Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного многочлена по заданному значению x. Записать его на алгоритмическом языке.

Решение:

Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b. Результат: значение многочлена Лагранжа y. В алгоритме используются два цикла. Внешний цикл – для вычисления суммы, а внутренний – для вычисления произведения. Массив не вводится. Значения непосредственно подставляются в формулы.

 

алг Интерполяционный многочлен (аргвещ x, a, b; цел n; резвещ y)

начцел i, j; вещ p, h

y:=0;

нцдля i от 0 до n

p:=f(a+ih)

нцдля j от 0 до n

если i j

то

Все

Кц

y:=y+p

Кц

Кон

5. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный сплайн. Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного сплайна по заданному значению x.

Решение:

Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b.

Результат:

Значение интерполяционного сплайна y. Последовательность действий описана в теории. Запишем ее с учетом условия равномерности сетки точек , из которой следует, что .

1. .

2. , .

3. , .

4. Решение следующей системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

,

, ,

.

Эта система совпадет со стандартным видом системы, которая решалась методом прогонки, если n заменить на M, заменить на (не перепутайте их с величинами, вычисляемыми в пункте 2 нашего алгоритма). При этом

, ,

, .

Поэтому решать эту систему целесообразно методом прогонки.

В результате решения системы будут найдены величины .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. Вычисление номера отрезка, которому принадлежит значение аргумента x: .

10. Вычисление значения сплайна:

.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 158; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты