КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Практическая работа № 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция
Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» - 2 часа. План занятий: 1. Актуализация понятий обратимая и обратная функции, геометрического смысла обратимости, графика обратной функции, свойств таблицы значений обратимой и обратной функции, сплайн-функции. 2. Повторение постановок задач интерполяции с простыми и кратными узлами, интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона и Эрмита, геометрического смысла интерполяции, оценок погрешности интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита, кусочно-многочленной, сплайновой и обратной интерполяции. 3. Решение примеров. 4. Консультирование студентов по выполнению домашней работы. Рассматриваемые примеры: 1. Дана таблица значений некоторой функции .
Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона. По этой же таблице провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона . Сравнить полученные результаты. Решение: Подставим в общую формулу для многочлена Лагранжа значения (i=0,1,2,3) и приведем многочлен к стандартному виду. 0+ . Запишем многочлен Ньютона в общем виде: . Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу. , , , , , .
Подставим в общую формулу значения и разделенные разности: . Проведем обратную интерполяцию, для чего построим теперь интерполяционный многочлен . Запишем его в общем виде: .
Найдем разделенные разности и запишем их в таблицу.
, , , , , .
Подставим в общую формулу значения и разделенные разности: . Графики уравнений , и = , , очевидно, различны, но довольно близки. Близость графиков связана с тем, что график многочлена есть приближение для графика функции , а график уравнения есть приближение для графика уравнения , совпадающего с графиком функции .
2. Дана таблица значений некоторой функции и её производной:
Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита . Решение: Запишем многочлен Эрмита в общем виде: = . Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.
, , , , , .
Подставим в общую формулу значения и разделенные разности. Получим: = . 3. Дана функция . , . Строятся интерполяционный многочлен и многочлен Эрмита , которые используются в качестве приближений этой функции. Найти оценки погрешности этих приближений в точке . Решение: Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа находится по формуле: . Здесь - верхняя граница на . Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита находится по формуле: . Здесь - верхняя граница на . Для дальнейших вычислений найдем постоянные и . Для этого найдем производные функции: , , . Оценим модули старших производных на : . Здесь использовано свойство модуля (модуль суммы не превышает суммы модулей), а также то, что на выполнено: , , . Таким образом, =14. . Здесь использовано также то, что . Таким образом, =38. Теперь вычислим искомые оценки: , .
4. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный многочлен Лагранжа , который используется для приближения функции . Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного многочлена по заданному значению x. Записать его на алгоритмическом языке. Решение: Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b. Результат: значение многочлена Лагранжа y. В алгоритме используются два цикла. Внешний цикл – для вычисления суммы, а внутренний – для вычисления произведения. Массив не вводится. Значения непосредственно подставляются в формулы.
алг Интерполяционный многочлен (аргвещ x, a, b; цел n; резвещ y) начцел i, j; вещ p, h y:=0; нцдля i от 0 до n p:=f(a+ih) нцдля j от 0 до n если i j то Все Кц y:=y+p Кц Кон 5. Дана функция , . Отрезок делится на n равных частей точками . Вычисляются значения этой функции , . По полученной таблице значений функции строится интерполяционный сплайн. Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного сплайна по заданному значению x. Решение: Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиения n, аргумент функции x, концы отрезка a и b. Результат: Значение интерполяционного сплайна y. Последовательность действий описана в теории. Запишем ее с учетом условия равномерности сетки точек , из которой следует, что . 1. . 2. , . 3. , . 4. Решение следующей системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей: , , , . Эта система совпадет со стандартным видом системы, которая решалась методом прогонки, если n заменить на M, заменить на (не перепутайте их с величинами, вычисляемыми в пункте 2 нашего алгоритма). При этом , , , . Поэтому решать эту систему целесообразно методом прогонки. В результате решения системы будут найдены величины . 5. , . 6. , . 7. , . 8. , . 9. Вычисление номера отрезка, которому принадлежит значение аргумента x: . 10. Вычисление значения сплайна: .
|