Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Практическая работа № 4. Численное интегрирование




Читайте также:
  1. E) Работа в цикле
  2. II. Работа над текстом и его оформление
  3. IV. Работа над задачами.
  4. IV. Работа над задачами.
  5. IV. Работа над задачами.
  6. IV. Работа над задачами.
  7. IV. Работа над задачами.
  8. IV. Работа над новым материалом.
  9. IV. Работа над новым материалом.
  10. IV. Работа над новым материалом.

Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 6 часов практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» - 2 часа.

План занятий:

1. Актуализация понятий неопределенного, определенного, несобственных и кратных интегралов, сходимости несобственных интегралов, свойств определенных и несобственных интегралов.

2. Повторение квадратурных формул Ньютона-Котеса, Гаусса, оценок погрешностей и порядков точности квадратурных формул.

3. Повторение метода повторного счета (правила Рунге)

4. Повторение первой и второй схем метода Монте-Карло.

5. Повторение алгоритма вычисления приближенных значений первообразной, методов приближенного вычисления несобственных и кратных интегралов.

6. Решение примеров.

7. Консультирование студентов по выполнению домашней работы.

Рассматриваемые примеры:

1. Для вычисления приближенного значения интеграла используется метод средних прямоугольников. Пользуясь оценкой погрешности для формулы средних прямоугольников, подобрать число отрезков разбиения n и шаг интегрирования h так, чтобы абсолютная погрешность приближенного значения интеграла не превышала .

Решение:

Приближенное значение интеграла вычисляется по следующей обобщенной формуле средних прямоугольников: . Здесь n – заданное число отрезков разбиения, - шаг интегрирования, ( ) – узлы квадратуры.

Запишем оценку погрешности приближенного значения :

.

Здесь - положительная постоянная, такая, что на . В нашем случае , , , .

Найдем постоянную . Для этого вычислим вторую производную подынтегральной функции: . Эта производная, очевидно, убывает на и положительна. Поэтому на . Таким образом, .

Учитывая это, оценку погрешности можно записать в виде: . Ее удобнее выражать через n.

Значение n будем выбирать исходя из требования: , обеспечивающего для приближенного значения интеграла заданную точность. Решим это неравенство относительно n: . Наименьшее целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 7. Итак, , .

2. Составить алгоритм вычисления приближенного значения интеграла методом Симпсона с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа . Значение m подбирается методом повторного счета с использованием асимптотической оценки погрешности по правилу Рунге. Записать алгоритм на алгоритмическом языке.



Решение:

Исходными данными для алгоритма являются значения a, b, и функция . Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле:

.

Здесь - шаг интегрирования, ( ) – узлы квадратуры. В обозначении приближенного значения интеграла подчеркнута зависимость его от параметра m. Подставляя значения узлов, получим:

.

Значение параметра m подбирается методом повторного счета так, чтобы абсолютная погрешность не превышала . При этом используется асимптотическая оценка погрешности по правилу Рунге

.

Здесь - порядок точности обобщенной формулы Симпсона.

Метод повторного счета представляет собой цикл, в котором последовательно вычисляются значения при На каждом шаге этого цикла, начиная со второго, проверяется условие достижения заданной точности:

.

Как только это условие выполнится, цикл свою работу закончит и в качестве искомого приближенного значения интеграла выбирается последнее вычисленное значение .



На каждом шаге цикла используются только два приближенных значения интеграла. Поэтому мы введем две переменные и , которые в цикле должны принимать попарно следующие значения: = , = ; = , = ; = , = и так далее. Заметим, что значение на всех шагах цикла, кроме первого, совпадает со значением на предыдущем шаге цикла. Поэтому в цикле мы будем вычислять только значение = , а значение = мы будем передавать с предыдущего шага цикла: . Условие окончания цикла в этом случае примет вид: . Если используется цикл с постусловием, то для того, чтобы цикл мог начать работу, необходимо до цикла вычислить начальное значение:

= = .

Введем в алгоритмический язык цикл с постусловием, аналогичный циклу repeat в языке Паскаль

 


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 31; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты