![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Практическая работа № 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближениеДля студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 6 часов практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» - 3 часа. План занятий: 1. Актуализация понятий тригонометрического ряда Фурье и его свойств, предгильбертова, нормированного и метрического пространства, аксиом скалярного произведения, нормы и метрики. 2. Повторение понятия ортогональности и ряда Фурье в гильбертовом пространстве, неравенства Бесселя и равенства Парсеваля. 3. Повторение формулы Родрига, многочленов Лежандра и разложения функции в ряд Фурье по системе ортогональных многочленов Лежандра. 4. Повторение общей схемы метода наименьших квадратов, полиномиальной и линейной аппроксимации. 5. Повторение способов линеаризации и их использования для поиска наилучших среднеквадратичных приближений в некоторых семействах нелинейных функций. 6. Повторение постановки задачи тригонометрической интерполяции, процедуры построения тригонометрического интерполяционного многочлена, понятия наилучшего равномерного приближения, теоремы Чебышева, способов построения наилучших равномерных приближений в семействах многочленов нулевого и первого порядка. 7. Решение примеров. 8. Консультирование студентов по выполнению домашней работы. Рассматриваемые примеры: 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию Изобразить график периодического (с периодом
Решение: Найдем тригонометрический ряд Фурье для функции
Вычислим коэффициенты Фурье:
Здесь использовано, что
В точке В точке В точке Наилучшим приближением для функции
2. Найти наилучшее среднеквадратичное приближение функции Решение: Определим многочлены Лежандра до второго порядка по формуле Родрига:
Найдем коэффициенты Фурье.
Здесь использовано, что подынтегральная функция нечетная, а интеграл берется в симметричных пределах.
Вычислим сначала неопределенный интеграл:
Продолжим вычисление
Здесь использовано, что подынтегральная функция нечетная, а интеграл берется в симметричных пределах. Искомое приближение представляет собой частичную сумму ряда Фурье:
3. Дана таблица значений Решение: Исходные данные для алгоритма: N, Вначале по формулам
вычисляются величины Далее проверяется условие
Если оно выполняется, то вычисляются значения коэффициентов a и b по формулам и строится график приближения и табличные точки. В противном случае строятся только табличные точки. 4. Дана таблица значений Решение: Исходные данные для алгоритма: n, N, Вначале вычисляются элементы матрицы и правой части системы
Далее происходит обращение к алгоритму решения линейной системы методом Гаусса. С его помощью вычисляются На этом описание алгоритма можно было бы закончить, но есть две особенности, требующие пояснения. Стандартный алгоритм метода Гаусса применяется к решению линейных систем вида:
Таким образом, перед обращением к алгоритму решения линейной системы методом Гаусса необходимо задать исходные данные для него в виде: При вычислении значений искомого приближения по формуле нцдля l от n-1 до 0 с шагом (-1) Кц 5. Дана таблица значений Решение: Исходные данные для алгоритма: N, Вводятся новые переменные X и Y таким образом, чтобы после замены переменных функция В результате этих замен мы получим линейную зависимость:
На основании известных табличных данных
По полученной новой таблице
Далее проверяется условие существования и единственности решения этой системы и получается само наилучшее линейное приближение
Если условие
6. Построить тригонометрический интерполяционный много-член второго порядка, Решение: Найдем табличные значения функции
Отсюда
Следовательно, табличные значения функции
Запишем в общем виде искомый тригонометрический интерполяционный многочлен: Вычислим коэффициенты этого многочлена по формулам:
Запишем искомый тригонометрический интерполяционный многочлен
7.Функция Решение: Функция Подставим найденные значения в формулу оценки погрешности и получим искомую оценку погрешности тригонометрической интерполяции как функцию r: Исследуем полученную оценку и попытаемся найти ее наименьшее значение. Величина r может иметь любое натуральное значение, а 8. Построить для функции Решение: Найдем
Наибольшее значение функция
Согласно теореме Чебышева, на
Вычтем из второго равенства первое и выразим из получившегося равенства
9. Построить для функции Решение: Найдем производные нашей функции и определим характер монотонности функции и направление выпуклости ее графика. Рассмотрим функцию
Кроме того, в точке
Из полученной системы уравнений найдем искомые коэффициенты многочлена наилучшего равномерного приближения. Вычитая из первого уравнения второе, получим:
Теперь из последнего уравнения можно будет найти
Складывая первое и третье уравнения, получим:
Отсюда находим Осталось записать искомый многочлен:
2.3. Практическая работа № 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга
Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» - 2 часа. План занятий: 1. Актуализация определения производной функции одной переменной и дифференциала, его геометрического смысла, понятия бесконечно малой функции 2. Актуализация формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. 3. Повторение полиномиальных формул численного дифференцирования, понятия порядка точности, порядков точности отдельных формул. 4. Повторение оценки погрешности формулы численного дифференцирования при неточно заданных табличных данных, причин начальной стабилизации разрядов в записи приближенных значений производной и последующей разработки. 5. Повторение первой и второй формулы Рунге, асимптотической оценки погрешности, метода повторного счета (правила Рунге). 6. Решение примеров. 7. Консультирование студентов по выполнению домашней работы. Рассматриваемые примеры: 1. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы Решение: В условиях рассматриваемого примера функцию
Здесь точка при
Здесь точка
Таким образом, исследуемая формула численного дифференцирования имеет второй порядок точности. Здесь использовано, что Подставим в формулу для модуля разности между точным и приближенным значением производной полученные выражения
Здесь 2. Даны значения функции
Найти асимптотическую оценку погрешности этого приближенного значения. Решение: Наша формула представляет собой приближенную формулу вида Формула Выберем
3. Даны значения функции
Вычисление по этой формуле производятся на разреженной сетке с шагом
Используя метод Рунге-Ромберга, уточнить полученное приближенное значение производной. Решение: Как мы уже выяснили в предыдущем примере, наша формула представляет собой приближенную формулу вида Выберем
Итак, новое приближенное значение производной
|