Основные задачи математической статистики

Содержание темы Историческая справка. Два вида задач, решаемых математической статистикой. Статистическая проверка гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Уровень значимости.

Понятия, определения, теоретические вопросы

Математическая статистика возникла и развивалась параллельно с теорией вероятностей, важнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX— начало XX в.) обязано, в первую очередь П. Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А.Кетле, Ф.Гальтону, К.Пирсону и др.

В XX в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В, И. Романовский, Е. Е. Слуцкий, А. Н. Колмогоров, Н. В. Смирнов), а также английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А.Вальд) учеными.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных - результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависи­мости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависи­мости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвест­ного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Статистическая гипотеза –это гипотеза о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Примерстатистической гипотезы: распределение генеральной совокупности является нормальным.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Выдвинутую гипотезу H₀ называют нулевой (основной), а конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H₁, которая противоречит нулевой. Если основная гипотеза будет отвергнута, то имеет место альтернативная гипотеза.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, а сложной – гипотезу, не являющуюся простой.

Примерпростой гипотезы: среднее значение нормально распределенной случайной величины равно 4.

Примерсложной гипотезы: среднее значение нормально распределенной случайной величины больше 4 (предположений бесконечно много).

Нулевая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. В результате статистическойпроверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода – отвергнута правильная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости.

Ошибка второго рода– принята неправильная гипотеза.

Для проверки статистических гипотез используют критерии.Статистический критерий– это случайная величина К, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым значением критерия К_набл называют его значение, вычисленное по выборке.