Средние величины. Понятие о средней величине, её природа и значение

Содержание темы

Понятие о средней величине, её природа и значение. Метод средних как один из важнейших приёмов научного обобщения. Виды средних величин и методы их расчёта. Средняя арифметическая. Средняя гармоническая. Средняя геометрическая. Выбор вида и формы средних.

Понятия, определения, теоретические вопросы

При анализе статистической информации важное место занимают средние статистические показатели. При помощи средней происходит сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам. Средняя величина - один из распространенных способов обобщений количественных показателей.

Рис. 10.1. Классификация средних величин

Рассмотрим признак x (осредняемый признак), по которому необходимо найти среднее значение . Значения осредняемого признака представлены рядом индивидуальных значений или вариант (х₁, х₂, х₃….х_n) (например, вариационным рядом) с частотами индивидуальных значений (f₁,f₂,f₃,…f_n) .

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

Существуют различные средние:

* средняя арифметическая;

* средняя геометрическая;

* средняя гармоническая;

Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

Средняя арифметическая наиболее распространенный вид средней. Средняя арифметическая обычно используется для характеристики абсолютных величин.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом.

1. Если каждое значение признака в ряду распределения встречается по одному разу, расчет производится по формуле простой арифметической, которой называется сумма всех значений, деленная на число этих значений.

,или ,(10.1)

где x₁,x₂,…,x_n-значения признака (например, цена товара);

n - количество значений.

Например, необходимо вычислить средний возраст сотрудников отдела, если каждому из них 25, 26, 28, 35, 45 лет. Используя формулу (10.1), получим: (25+26+28+35+45)/5= 31,8 года.

2. Если одно и то же значение признака встречается несколько раз, используют формулу средней арифметической взвешенной.Чем чаще встречается определенное значение признака, тем большее влияние на величину средней. Отразить такое влияние представляется возможным посредством следующей формулы:

, (10.2)

где x_i - значение признака (цена товара),

f_i - частота повторения этого признака (вес товара).

Расчет средних величин рассмотрим на основе данных по условному товару (см. табл. 10.1).

Применяя формулу (10.1) для расчета средней цены по данным таблицы, получим

_17,2

Таблица 10.1.

Экспорт условного товара

Однако, полученное значение средней цены не отражает объема реализации. Поэтому воспользуемся формулой (10.2). Для вышеприведенного примера это значение составит

23,4 долл/кг.

Таким образом, применение формулы расчета средней арифметической взвешенной позволило учесть влияние структуру исходных данных.

Среднее арифметическое рассчитывается по разному в дискретных и интервальных вариационных рядах.

В дискретных рядах варианты признака умножаются на частоты, эти произведения суммируются и полученная сумма произведений делится на сумму частот.

Рассмотрим пример вычисления средней арифметической в дискретном ряду:

В интервальных рядах значение признака задано, как известно, в виде интервалов, поэтому, прежде чем рассчитывать среднюю арифметическую, нужно перейти от интервального ряда к дискретному.

В качестве вариантов X_i используется середина соответствующих интервалов. Они определяются как полусумма нижней и верхней границ.

Если у интервала отсутствует нижняя граница, то его середина определяется как разность между верхней границей и половиной величины следующих интервалов. При отсутствии верхних границ, середина интервала определяется как сумма нижней границы и половины величины предыдущего интервала. После перехода к дискретному ряду дальнейшие вычисления происходят по методике рассмотренной выше.

Средней гармонической величинойназывают величину, рассчитанную из обратных значений варьирующего признака. Она применяется и как обобщающая характеристика относительных величин.

Также как и средняя арифметическая, средняя гармоническая может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая:

(10.3)

Средняя гармоническая взвешенная:

, (10.4)

где f_i - частоты;

X_i - индивидуальные значения.

В приведенном ниже примере необходимо найти, сколько процентов в среднем по стране составил импорт по некоторой товарной группе за 2001 год по сравнению с 2000 годом. Для этой цели можно использовать среднюю гармоническую. В качестве значений признака будут выступать проценты, а в качестве частот – объемы импорта за 2001 год.

Таблица 10.2

.

Средней геометрической принято именовать величину, исчисляемую как корень n–ной степени из произведения n отдельных вариантов признака.

Она также обычно используется для характеристики относительных величин и рассчитывается по формуле:

, (10.5)

Пример. Темпы роста в период с 1998-2001 гг. составили соответственно 50%; 40%; 60%; 20%. Определить средний темп роста. Воспользуемся формулой 10.5. Средний темп роста составит

39%.

В случаях, когда некоторые либо все варианты (коэффициенты темпов роста, например) относятся к периодам, не одинаковым по продолжительности, средний коэффициент роста исчисляется по формуле средней геометрической взвешенной:

, (10.6)

где х - варианты;

f_i - веса;

- сумма весов.

Допустим, что коэффициент роста физического объема внешней торговли за периоды:

1994-1998 гг. - 115 %

1998-2001 гг. – 104,7%

2001-2004 гг. прогноз - 101%

Средний темп роста, рассчитанный по формуле 10.6 составит 108%.

При расчете средних величин необходимо помнить о том, что всякие промежуточные вычисления должны приводить как в числителе, так и в знаменателе к имеющим экономический смысл показателям.