Структурные средние величины

Содержание темы

Понятие моды и медианы. Особенности и применение структурных средних.

Понятия, определения, теоретические вопросы

В ряде случаев необходимо знать значение признака, которое чаще всего встречается. Например, для того чтобы определить какая цена является наиболее предпочтительной при экспорте/импорте того или иного товара участниками ВЭД, используется показатель моды. Мода - статистический показатель, который характеризует чаще всего встречающееся значение признака и исчисляется для интервальных рядов распределения по формуле:

(11.1)

где - нижняя граница модального интервала

- длина интервала

- частота, соответствующая модальному интервалу (т.е. интервалу, имеющему наибольшую частоту)

- частота интервала, предшествующего модальному интервалу

- частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Данная формула основана на том, что расстояния от нижней границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы модального интервала прямо пропорциональны разностям между численностью модального интервала и прилегающих к нему. При этом модальным интервалом является тот, который имеет наибольшую частоту (частость).

Пример: По данным таблицы вычислим моду

Таблица 11.1

Наибольшая частота соответствует интервалу сотрудников таможенных органов со стажем от 8-10 лет, который и является модальным. Моду определим по формуле: 8+2*(35-20)/((35-20)+(35+12))=8+2*0,24=8,5 года. Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается стаж таможенников 8,5 лет.

Рис. 11.1. Распределение таможенников в зависимости от стажа работы.

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Например, имеется совокупность (дискретный вариационный ряд), содержащая сведения о среднедневном оформлении таможенниками грузовых таможенных деклараций (ГТД).

Таблица 11.2.

Наибольшей частотой является число 20. Этой частоте соответствует модальное значение признака, количество оформленных в день ГТД. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются работники, оформляющие 24 ГТД в день.

Медиана ( ) – это значение показателя, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

Например, стаж пяти таможенников составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число таможенников.

Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять таможенников, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда: Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.

В случае непрерывного вариационного ряда для вычисления медианы нам понадобится понятие накопленная частость.

Накопленная частость –это сумма частостей, соответствующих интервалам 1,..,j. Интервал называется медианным, если накопленная частость этого интервала больше 50%, а предыдущего интервала – меньше. Медиана вычисляется по формуле

, (11.2)

где - нижняя граница медианного интервала;

- длина интервала;

- накопленная частность предшествующего интервала;

- частость медианного интервала.

Пример. Определить моду и медиану по заданной выборке цен:

Модальным будет интервал 10,5-10,7, так как ему соответствует наибольшая частота 10. Получаем: x_j=10,5, =0,2, , ;

Построим дополнительно таблицу для частостей и накопленных частостей.

x	10,1-10,3	10,3-10,5	10,5-10,7	10,7-10,9	10,9-11,1
	2/23	4/23	10/23	6/23	1/23
	2/23	6/23	16/23	22/23

Медианным будет также интервал 10,5-10,7. Получаем: x_j=10,5, =0,2, ,