ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ ПРИ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА. пОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ЦМРК (САРМ) предполагает, что только систематический риск каждого отдельного актива важен при построении портфеля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем и до сих пор широко применяемая, использует общий риск каждого отдельного актива. Следовательно, при построении портфелей и определении общего риска портфеля должны рассматриваться ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.

Известно, что когда доходы по рискованному активу являются случайными переменными, доходы по портфелю — это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным активам, т.е.

(34)

Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не равно взвешенной по стоимости средней из средних квадратических отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации этого среднее квадратическое отклонение портфеля из двух активов составляет:

(35)

где

— среднее квадратическое отклонение портфеля;

и — веса активов 1 и 2 в портфеле;

и — дисперсии доходов по активам 1 и 2;

— корреляция доходов по активам 1 и 2.

Обобщение (35)

. (36)

Или в матричной форме

Каждый элемент — дисперсия в дисперсионно-ковариационной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес актива, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние, т.е. . Каждая ковариация умножается один раз на вес каждого актива из пары активов и существуют две ковариации для каждой возможной пары, т.е. 2cov

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который Участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по Различным видам ценных бумаг. Естественно, что целью инвестора является такое вложение денег, которое сохраняет его капитал, а по возможности и наращивает его.

Обозначим через , долю капитала, потраченную на покупку ценных бумаг i-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу.