МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕН ОСНОВНЫХ АКТИВОВ. Модель теории арбитражного ценообразования.

Модель САРМ является равновесной моделью, объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями. Эта модель образования цен на финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов «бета». Однако существует альтернативная модель ценообразования, разработанная Стефаном Россом. Эта теория, известная как теория арбитражного ценообразования (APT), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ.

САРМ-модель требует выполнения большого числа предположений, включая предположения, сделанные Гарри Марковичем при разработке базовой стохастической модели, например, о том, что каждый инвестор выбирает свой оптимальный портфель, используя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и стандартное отклонение. В то же время модель APT основана на меньшем числе предположений. Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель.

Арбитраж — это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Однако, следует понимать, что такая возможность реализуется редко. В самом деле, арбитражер с неограниченной возможностью осуществления «коротких» продаж может немедленно выровнять дисбаланс цен на этих рынках, если профинансирует покупку актива на рынке с низкой ценой за счет его «короткой» продажи на рынке с высокой ценой. Это означает, что возможность безрискового арбитража очень кратковременна.

Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Правда, некоторые инвесторы имеют большие ресурсы и наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реализации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие покупок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов, чем имеется желающих принять участие в этих операциях.

Менее явная возможность арбитража существует в том случае, если удается сконструировать портфель активов, имеющий идентичный с некоторым другим активом поток доходов, но с меньшей ценой, чем этот актив. Данный вид арбитража основан на фундаментальном принципе теории финансов, носящем название закон единой цены. Его суть состоит в том, что если поток доходов, порождаемый данным активом, совпадает с потоком доходов от искусственно созданного пакета других активов, то стоимости актива и (копирующего) его пакета должны совпадать.

Если обнаруживается различие цен актива и пакета активов с одинаковыми потоками доходов, то инвесторы будут осуществлять с ними арбитражные сделки, что в конечном счете приведет к выравниванию цен и восстановлению равновесия. Наличие рыночного механизма, восстанавливающего равновесие, и предполагается теорией арбитражного ценообразования, при этом считается также, что проведение арбитражной сделки не столкнется с непредусмотренным в ней изменением цен.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбитражные» возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению. Это — существенное рассуждение, лежащее в основе APT.

В соответствии с APT инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска.

APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов. Предположим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства. В таком случае доходность ценных бумаг определяется в соответствии со следующей однофакторной моделью:

(37)

где — ставка доходности ценной бумаги i;

— значение фактора, котором в данном случае является предсказанный темп роста промышленного производства;

— ожидаемая доходность актива i;

— чувствительность ценной бумаги i к значению фактора ( );

— несистематическая доходность ценной бумаги i.

При формировании арбитражного портфеля следует соблюсти два условия. Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через обозначить изменение в стоимости ценной бумаги i в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то это требование к арбитражному портфелю может быть записано так;

(38)

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем виде может быть записано так

(39)

Здесь чувствительность i-го фактора на j-ый, a j-число факторов.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий уравнениям (38) и (39) будет иметь нулевую ожидаемую доходность.

Модель APT утверждает, что доходность актива i как случайная величина выражается следующим образом для двухфакторной модели:

(40)

Предположим, что инвестор обладает рисковыми акциями трех выводов Т, I, L и одной безрисковой акцией. Ожидаемые доходности и чувствительности к двум факторам, например к состоянию промышленного производства и уровню инфляции, для каждой из бумаг заданы в табл. 4.

Таблица 4.

Инвестиции	Ожидаемая прибыль, %	Ожидаемое стандартное отклонение, %	Чувствительности
Т	9,5	31,6	1,6	1,2
I			0,6	1,6
L		63,2	2,0	1,1
S	8,5		0,8	1,8

Составляем на основании формул (38) и (39) систему уравнений

(41)

Так как в системе четыре неизвестных, а уравнений три, то имеется бесконечное множество решений. Одно из решений выбираем произвольно. Пусть , тогда в результате решения получим

Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Вычисляем ожидаемую доходность: -0,1 • 9,5 + 0,041 • 13 + 0,074 • 21 -0,015 • 8,5 = 1,095 > 0. Так как ожидаемая доходность положительная, то найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций I и L за счет продажи акций Т и S. Следовательно, деятельность по покупке и продаже повысит курсы акций I и L и понизит курсы акций Т и S. В свою очередь это означает, что ожидаемые доходности акций I и L понизятся, а акций Т и S повысятся.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий системе (6.5.4), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной

(42)

Можно считать, что здесь три переменные .

Таким образом, для получения портфеля с нулевой ожидаемой доходностью нужно будет найти большое число решений системы (41) и соответствующих им доходностей, что возможно только с применением стандартных программ.

В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения ожидаемых доходностей:

Ожидаемые доходности акций I и L упали, тогда как ожидаемые доходности акций Т и S возросли. Изменение спроса и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.

Механизм влияния арбитражного портфеля на первоначальный портфель становится ясным из анализа табл. 5.

Таблица 5