Однопериодная модель заказа

Модель применяется в ситуации, когда приобретаемый запас должен быть распродан в течение ограниченного промежутка времени (скоропортящиеся продукты, модная сезонная одежда и пр.). Если товар не продан по нормальной цене в этот промежуток времени (в сезон), он обязательно реализуется по сниженным ценам на внесезонной распродаже. При этом цена распродажи может быть существенно ниже не только нормальной цены, но и себестоимости товара, в результате чего продавец несет значительные убытки. С другой стороны, если продавец, пытаясь застраховаться от потерь, связанных с распродажей товара по сниженным ценам, закажет партию, заведомо ниже величины прогнозируемого спроса на данный период, он фактически отказывается от части прибыли, которую предлагает ему рынок. Модель определяет оптимальный размер заказа, максимизирующий прибыль продавца в условиях случайного спроса, когда неизбежны либо потери от распродажи излишков, либо упущенная выгода при возникновении дефицита товара.

Пусть прогнозируемый средний спрос на данный товар на сезон составляет , а стандартное отклонение спроса s. Пусть нормальная цена при продаже товара в сезон составляет p, при себестоимости c, а цена единицы товара на распродаже p_уцен<c. Тогда потери от распродажи 1 единицы избытка товара составит c_изб=c-p_уцен, а потери от дефицита в 1 единицу товара оценим как упущенную прибыль от несостоявшейся продажи этой единицы товара c_деф=p-c.

При оценке оптимального размера запаса, максимизирующего прибыль, экономисты используют подход, известный как маржинальный анализ. Согласно этому подходу, максимум прибыли (или минимум упущенных возможностей, что равнозначно, если под упущенными возможностями понимать на равных основаниях и прямые потери и незаработанную прибыль) получится, если ожидаемые потери от 1 единицы дефицита равны ожидаемым потерям от 1 единицы избытка. Термин «ожидаемые» означает среднее значение потерь при многократном повторении заказа (т.е. потери за много сезонов подряд, или во многих магазинах в данном сезоне). Если вероятность дефицита обозначить a, а вероятность избытка, соответственно 1-a, то условие максимума прибыли имеет вид:

Заметим, что сформулированное на основе маржинального анализа соотношение (25), в данном случае является результатом точной математической процедуры максимизации прибыли (или минимизации упущенных возможностей). Для читателей, знакомых с определением среднего значения функции непрерывной случайной величины и владеющих навыками интегрирования, ниже приведен вывод соотношения (25).

Обозначим размер заказа на данный период (сезон) Q. Тогда, если спрос за период распределен нормально, среднее значение прибыли от продажи товара в сезон составит

Видно, что выражение для максимальной ожидаемой прибыли меньше, чем прибыль от единицы товара, умноженная на среднюю величину спроса, поскольку неизбежны либо прямые потери от распродажи при избытке товара, либо упущенные возможности от неудовлетворенного спроса при дефиците.