![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
КИНЕМАТИКА ТОЧКИСтр 1 из 51Следующая ⇒
Для задания движения точки применяется один из следующих способов: векторный, координатный или естественный. Векторный способ. Рассмотрим движение точки М относительно заданного неподвижного центра О. Положение точки М в произвольный момент времени t можно определить, задав ее радиус-вектор
Уравнение (1.1) называется уравнением движения точки в векторной форме. При движении точки М конец радиус-вектора Скоростью точки М в момент времени t называется вектор
Вектор скорости характеризует изменение радиус-вектора точки в единицу времени по модулю и направлению. Вектор скорости Ускорением точки М в момент времени t называется вектор
Вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости точки в единицу времени по модулю и направлению. Вектор ускорения Если угол между векторами Координатный способ. С точкой О свяжем неподвижную ортогональную декартовую систему координат ОXYZ и зададим координаты точки М(x, y, z) как функции времени:
Учитывая связь
(
Из (1.5) и (1.6) следует, что
Проекции вектора скорости точки на декартовые оси равны первым производным, а проекции вектора ускорения - вторым производным от соответствующих координат по времени. В (1.7) и далее производная по времени обозначается точкой, стоящей над величиной Скорость и ускорение точки по величине определяется по формулам:
Направление векторов
(1.9)
Естественный способ. Для задания движения точки естественным способом необходимо: 1) знать траекторию движения точки; 2) выбрать на траектории начало отсчета «О»; 3) установить положительное и отрицательное направление отсчета криволинейной координаты 4) задать закон изменения криволинейной координаты s как функции времени:
Радиус вектор
где
или
где числовое значение скорости
Числовое значение скорости точки равно первой производной от криволинейной координаты s по времени. Из (1.11) следует, что вектор скорости точки Дифференцируя (1.11) по времени, найдем ускорение точки при естественном способе задания движения:
или
Здесь
вектор касательного ускорения точки, его числовое значение
вектор нормального ускорения точки, его числовое значение Формула (1.13) выражает теорему Гюйгенса: ускорение точки при криволинейном движении равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений. Из (1.13) следует, что проекция ускорения точки на бинормаль всегда равна нулю:
Поскольку векторы
Если знаки Рассмотрим некоторые частные случаи движения точки. Прямолинейное движение точки. Так как траекторией точки является прямая линия, то Равномерное криволинейное движение точки. При этом движении величина скорости точки остается постоянной Определим закон равномерного криволинейного движения точки, если при
Формула (1.18) определяет закон равномерного движения точки. Равнопеременное криволинейное движение точки. При этом движении
Следовательно, или
где знак «+» соответствует равноускоренному движению, а знак «-» - равно-замедленному движению точки. С учетом (1.12), выражение (1.19) запишем в виде
Отсюда
Формула (1.20) определяет закон равнопеременного криволинейного движения точки. Равномерное прямолинейное движение точки. В этом случае вектор скорости не изменяется ни по величине, ни по направлению: Определим касательное и нормальное ускорения точки и значение радиуса кривизны ее траектории, если движение точки задано в координат-ной форме (1.3):
Из (1.8) имеем
отсюда
Из (1.16) находим нормальное ускорение точки
Тогда значение радиуса кривизны траектории в точке М определим по формуле
|