УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки (А и В). Прямая OZ, проходящая через эти точки, называется осью вращения.

Для определения положения вращающегося тела возьмем две полу-плоскости I и II, ограниченные осью вращения OZ (рис. 2.3).

Полуплоскость I неподвижная, а полуплос-кость II врезана в тело и вращается вместе с ним. Тогда положение тела в произвольный момент времени t определяют заданием линейного угла двухгранного угла между этими полуплоскостями:

. (2.4)

Угол называется углом поворота тела. Уравнение (2.4) определяет закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

За положительное направление отсчета угла выбрано направление против хода часовой стрелки. В системе СИ угол измеряется в радианах.

Основными кинематическими характе-ристиками вращательного движения твердого тела являются угловая скорость и угловое ускорение.

Пусть за промежуток времени тело повернется вокруг оси OZ на угол . Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется скалярная величина

,

. (2.5)

Числовое значение угло-вой скорости равно первой производной от угла поворота тела по времени.

Угловая скорость харак-теризует изменение угла пово-рота тела в единицу времени. Угловая скорость измеряется в рад/с или .

Знак в (2.5) определяет направление вращения тела. Если , то вращение вокруг оси OZ происходит против хода часовой стрелки (рис. 2.4, а), а если , тогда по ходу часовой стрелки (рис. 2.4, б).

Угловую скорость можно изобразить в виде вектора, направленного по оси вращения:

, (2.6)

где - орт оси OZ. Вектор направлен вдоль оси OZ, если , и против оси OZ, если , т. е. с конца вектора вращение вокруг оси всегда видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.4).

Если за время угловая скорость изменилась на величину , то угловым ускорением тела в данный момент времени t называется величина , определяемая выражением

или

. (2.7)

Числовое значение углового ускорения тела равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела в единицу времени. В качестве единицы измерения обычно исполь-зуется рад/c² или с^-2.

Угловое ускорение тела можно изобразить в виде вектора , направ-ленного по оси вращения OZ:

. (2.8)

Если величина угловой скорости с течением времени возрастает, то вращение тела является ускоренным. В этом случае векторы и направлены в одну сторону, а их числовые значения имеют одинаковые знаки (или (рис. 2.4, а), или ).

Если величина угловой скорости с течением времени уменьшается, то вращение тела является замедленным. Векторы и направлены по оси вращения в противоположные стороны, а их числовые значения имеют противоположные знаки ( , или (рис. 2.4, б)).

Равномерное вращение. Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной, то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Пусть при t = 0 , . Согласно (2.5) запишем в дифференциальной форме

или

.

Возьмём от обеих частей этого равенства определенные интегралы, у которых нижние пределы соответствуют начальным условиям движения, а верхние - произвольному моменту времени t:

.

Отсюда следует закон равномерного вращения:

. (2.9)

Равнопеременное вращение. Если угловое ускорение при движении тела остается постоянным по величине ( ), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения. Пусть при . Согласно (2.7) запишем в дифференциаль-ной форме

или, разделяя переменные,

.

Интегрируя, получим

,

или

. (2.10)

Формула (2.10) выражает зависимость угловой скорости от времени при равнопеременном вращении твердого тела. Знак «+» соответствует равноускоренному, а знак «-» - равнозамедленному вращениям. Восполь-зовавшись (2.5), представим (2.10) в виде

,

или

.

Интегрируя данное уравнение с учетом начальных условий движения

,

получим закон равнопеременного вращения

. (2.11)

Знак «+» в (2.11) соответствует равноускоренному, а знак «-» - равнозамед-ленному вращениям.