Коло змінного синусоїдного струму з ідеальною котушкою

Під ідеальною котушкою будемо розуміти таку, у якої активний опір дорівнює нулю. Включимо її в коло з ідеальним генератором синусоїдної е.р.с. (рис.3.12).

Г – генератор синусоїдної е.р.с.;

рА – амперметр;

К – котушка.

Складемо розрахункову схему кола, зневажаючи опором амперметра і з'єднувальних проводів: генератор виробляє синусоїдну е.р.с., змінний струм у котушці створює змінне магнітне поле (рис.3.13). Буде спостерігатися явище електромагнітної індукції (самоіндукції) і в котушці буде индуктуватися е.р.с. e_L (рис.3.14).

Запишемо рівняння електричної рівноваги кола за другим законом Кірхгофа:

Е.р.с. самоіндукції, яка наводиться в котушці, залежить від кідькості витків
котушки w і швидкості зміни магнітного потоку:

.

(3.35)

З урахуванням (3.1) можемо записати:

.

(3.36)

Підставляємо (3.36) у (3.34) і одержуємо:

.

(3.37)

Отриманий вираз встановлює зв'язок між напругою і струмом в індуктивності.

Задамося струмом у колі

(3.38)

і знайдемо, якою повинна бути напруга на затисках генератора при такому струмі:

де , .

(3.39) (3.40)

Величину wL позначимо x_L і назвемо реактивним опором котушки, тобто

Перевіримо одиницю цього опору:

.

Запишемо закон Ома для максимальних значень, виходячи з виразів (3.40) і (3.41) для ділянки кола з індуктивністю:

або або ; .

(3.42)   (3.43)

Запишемо закон Ома для діючих значень:

; .	(3.44)   (3.45)

Представимо графічно напругу і струм в індуктивності (рис.3.15).

Знайдемо кут зсуву фаз між напругою і струмом в індуктивності:

Таким чином, струм в індуктивності відстає від напруги за фазою на кут 90°.

Знайдемо миттєву потужність в індуктивності:

де .	(3.46) (3.47)

Величину Q_L назвали реактивною потужністю котушки, як одиницю
уведено:

Активна потужність в індуктивності як середнє значення потужності за період:

.

(3.48)

Таким чином, енергія в індуктивності не виділяється у видгляді тепла, а відбувається обмін енергією між джерелом і приймачем.

Розглянемо цей процес на графіку (рис.3.15). У першу чверть періоду,
коли струм зростає, збільшується магнітний потік і магнітне поле накопичує енергію (позитивна заштрихована площа), миттєва потужність позитивна і спрямована від джерела до приймача. В другу чверть періоду, коли струм знижується, магнітний потік зменшується і магнітне поле віддає енергію джерелу (негативна заштрихована площа), миттєва потужність негативна і спрямована від приймача до джерела.

Таким чином, миттєва потужність коливається з подвійною частотою – за половину періоду струму миттєва потужність здійснює повне
коливання.

Приклад 3.7

До ідеальної котушки підведена напруга u_L = 141 sin (wt + 73°) В.

Частота струму в мережі дорівнює 50 Гц. Індуктивність котушки дорівнює 12,7 мГн.

Виконати аналіз ділянки кола.

Рішення.

1. Визначаємо індуктивний опір котушки за (3.41):

х_L = 2p×50×12,7×10^–3 = 4 Ом.

2. Визначаємо амплітуду струму за (3.43):

.

3. Визначаємо початкову фазу струму:

y_i = y_u – 90 = 73 – 90 = –17°.

4. Записуємо миттєвий струм:

i = 35,25 sin (wt – 17°) А.

5. Визначаємо діюче значення струму за (3.14):

.

6. Визначаємо реактивну потужність за (3.47):

Q_L = 4×25² = 2500 вар = 2,5 квар.

Питання для самоконтролю

1. Опишіть фізичні явища, які спостерігаються в ідеальній котушці
в колі синусоїдного струму.

2. Складіть розрахункову схему кола з ідеальним генератором і ідеальною котушкою.

3. Запишіть математичний зв'язок між миттєвою напругою,
миттєвим струмом і індуктивністю в ідеальній котушці.

4. Поясніть фізичну суть індуктивного опору.
Як розрахувати індуктивний опір ідеальної котушки?

5. Сформулюйте і математично запишіть закон Ома для максимальних
і діючих значень напруги і струму на ділянці кола з індуктивністю.

6. Запишіть математичний вираз миттєвого струму в індуктивності,
прийнявши початкову фазу рівною нулю.

7. Запишіть математичний вираз миттєвої напруги на індуктивності
для зазначеного вище струму.

8. Побудуйте графічно оригінали миттєвої напруги і миттєвого струму
на ділянці кола з індуктивністю.

9. Зобразите напругу і струм за допомогою векторів.

10. Чому дорівнює кут зсуву фаз в індуктивності?

11. Отримайте математичний вираз миттєвої потужності в індуктивності.
З якою частотою коливається миттєва потужність в індуктивності?

12. Чому дорівнює активна потужність в індуктивності?

13. Як розрахувати реактивну потужність в індуктивності? Укажіть її одиницю.

14. Поясніть фізичну суть реактивної потужності в індуктивності.

Завдання для самоконтролю

До ідеальної котушки підведена напруга u_L = 141 sin (wt + 73°) В.
Індуктивність котушки дорівнює 25,4 мГн.
Частота струму в колі f = 50 Гц.

1. Знайти реактивний опір котушки.

2. Записати миттєве значення струму.

3. Знайти реактивну потужність.

4. Записати вираз миттєвої потужності в індуктивності.

5. Зобразити графічно миттєвий струм і миттєву потужність у функції wt.