Реальна котушка в колі змінного синусоїдного струму

Включимо котушку в коло змінного синусоїдного струму. Генератор приймаємо ідеальним, опором з'єднувальних проводів зневажаємо. У котушці спостерігаються наступні фізичні процеси:

– під дією синусоїдної е.р.с. джерела в котушці протікає струм i;

– спостерігається теплова дія струму і котушка нагрівається;

– змінний синусоїдний струм створює змінне магнітне поле, яке пронизує
цю ж котушку – спостерігається явище електромагнітної індукції
(само­індукції) і в котушці наводиться е.р.с. самоіндукції e_L.

Складемо розрахункову схему кола котушки (рис.3.19).

Запишемо рівняння електричної
рівноваги для цього кола:

(3.63)   (3.64)

Задамося струмом у колі

(3.65)

і знайдемо, якою повинна бути в цьому випадку прикладена напруга u, для чого
підставимо значення струму в (3.64):

.

(3.66)

Позначимо згідно (3.24) і (3.40)

(3.67) (3.68)

і перепишемо рівняння (3.66) у наступному видгляді:

.

(3.69)

Запишемо миттєву прикладену напругу в загальному видгляді:

.

(3.70)

Побудуємо векторну діаграму струму і напруги цього кола (рис.3.20).

Таким чином, y_u = y_i + j і миттєва напруга на затисках кола записується так:

,

(3.71)

а через те, що в даному випадку y_i = 0, то y_u = j .

Розглянемо трикутник напруг на векторній діаграмі (рис.3.21).

Запишемо вирази сторін трикутника:

, , ,

(3.72) (3.73) (3.74)

де r – активний опір котушки, Ом;

x – реактивний опір котушки, Ом;

– повний опір котушки

(вводимо таке поняття за аналогією с r і х), Ом.

Розділимо сторони трикутника напруг на I_m і одержимо трикутник опорів (рис.3.22).

Як видно з рис.3.22, повний опір кола котушки змінному струму

.

(3.75)

Кут зсуву фаз у котушці може бути знайдений через параметри котушки
(r, x, ), наприклад:

.

(3.76)

Помножимо сторони трикутника опорів на квадрат діючого значення струму й одержимо трикутник потужностей (рис.3.23).

Сторони трикутника являють собою потужності:

активну P = rI2, Вт;	(3.76)
реактивну QL = xLI2, вар;	(3.77)
повну S = I2, ва.	(3.78)

Уведемо поняття коефіцієнта потужності, під яким будемо розуміти
відношення активної потужності до повної .

Як видно з трикутника потужностей, коефіцієнт потужності чисельно дорівнює косинусу кута зсуву фаз, тобто:

.

(3.79)

Таким чином, реальну котушку можна розглядати одночасно як
резистор – з однієї сторони і як ідеальну котушку – з іншої. Усі процеси можна
описати за допомогою двох ідеальних елементів – активного опору й індуктивності, які описані в п.3.2 і 3.3.

Приклад 3.9

До реальної котушки підведена напруга u = 282 sin (wt + 70°) В.

Активний опір котушки дорівнює 3 Ом.

Реактивний опір котушки дорівнює 4 Ом.

Виконати аналіз кола.

Рішення.

1. Визначаємо повний опір кола за (3.75):

.

2. Визначаємо амплітуду струму за (3.74):

.

3. Визначаємо кут зсуву фаз кола за (3.76):

.

4. Визначаємо початкову фазу струму:

y_i = y_u – j = 70 – 53 = 17°.

5. Записуємо миттєвий струм:

i = 56,4 sin (wt + 17°) А.

6. Визначаємо амплітуду напруги на активному опорі за (3.72):

U_rm = 3×56,4 = 169,2 В.

7. Визначаємо початкову фазу напруги на активному опорі:

y_ur = y_i = 17°.

8. Записуємо миттєву напругу на активному опорі:

u_r = 169,2 sin (wt + 17°) В.

9. Визначаємо амплітуду напруги на індуктивному опорі за (3.73):

U_Lm = 4×56,4 = 225,6 В.

10. Визначаємо початкову фазу напруги на індуктивному опорі:

y_u = y_i + 90 = 17 + 90 = 107°.

11. Записуємо миттєву напругу на індуктивному опорі:

u = 225,6 sin (wt + 107°) В.

12. Визначаємо діюче значення струму за (3.14):

.

13. Визначаємо активну потужність за (3.76):

Р = 3×40² = 4800 Вт = 4,8 квт.

14. Визначаємо реактивну потужність за (3.77):

Q_L = 4×40² = 6400 вар = 6,4 квар.

15. Визначаємо повну потужність за (3.78):

S = 5×40² = 8000 ва = 8,0 ква.

16. Визначаємо коефіцієнт потужності котушки за (3.79):

.

Питання для самоконтролю

1. Опишіть фізичні явища, які спостерігаються в реальній котушці
в колі змінного синусоїдного струму.

2. Складіть розрахункову схему кола з ідеальним генератором і реальною котушкою.

3. Складіть рівняння електричної рівноваги кола синусоїдного струму
з реальною котушкою.

4. Запишіть вираз миттєвого струму в колі, прийнявши початкову фазу рівною нулю.

5. Отримайте вираз миттєвої напруги на затисках кола, підставивши
в рівняння електричної рівноваги вираз миттєвого струму в колі.

6. Побудуйте векторну діаграму струму і напруг кола
(для діючих значень).

7. Запишіть вираз миттєвої напруги на затисках кола,
використовуючи векторну діаграму, з урахуванням кута зсуву фаз.

8. Отримайте з векторної діаграми і побудуйте трикутник
діючих значень напруг котушки.

9. Перетворіть трикутник напруг у трикутник опорів,
використовуючи закон Ома.

10. Установите зв'язок між параметрами реальної котушки,
використовуючи трикутник опорів.

11. Як розрахувати кут зсуву фаз реальної котушки за допомогою її параметрів?

12. Отримайте з трикутника опорів трикутник потужностей і побудуйте його.

13. Установите зв'язок між потужностями реальної котушки,
використовуючи трикутник потужностей.

14. Дайте визначення коефіцієнта потужності реальної котушки.

15. Запишіть і розшифруйте визначальну формулу коефіцієнта потужності
реальної котушки.

Завдання для самоконтролю

Котушка з параметрами r = 3 Ом і L = 12,7 мГн підключена
до джерела синусоїдної напруги u = 282(wt + 70°) В.
Частота струму в колі f = 50 Гц.

1. Знайти індуктивний опір котушки.

2. Знайти повний опір котушки.

3. Знайти кут зсуву фаз котушки.

4. Знайти амплітуду струму в котушці.

5. Записати миттєве значення струму в котушці.

6. Знайти амплітуду напруги на активному опорі.

7. Записати миттєве значення напруги на активному опорі.

8. Знайти амплітуду напруги на індуктивності.

9. Записати миттєве значення напруги на індуктивності.

10. Побудувати векторну діаграму напруг і струму кола.

11. Знайти активну потужність котушки.

12. Знайти реактивну потужність котушки.

13. Знайти повну потужність котушки.

14. Знайти коефіцієнт потужності котушки.