Елементи зонної теорії твердих тіл

7.14.1.При утворенні кристалічної решітки твердих тіл, тобто при зближенні окремих атомів до відстані , атомні енергетичні рівні повинні розщеплюватись в зони рівнів, оскільки принцип Паулі тепер стосується не окремих атомів, а кристалічної решітки в цілому. Розщеплення тим сильніше, чим менша відстань між атомами і чим вищий енергетичний рівень (рис. 7.26 а). Таким чином, шкала енергій електронів в кристалічній решітці розбивається на зони дозволених енергій і зони заборонених енергій (на рис. 7.26 б заштриховані зони дозволених енергій, які відповідають рівноважній відстані між атомами R₀).

Кількість енергетичних рівнів в зонах співмірна з кількістю атомів речовини, тобто . Оскільки ширина зон , то відстань між окремими рівнями , що значно менше від енергії теплового руху k₀Т. І тому можна вважати розподіл енергій в зонах неперервним.

У відповідності з принципом Паулі на кожному енергетичному рівні в зонах може перебувати не більше двох електронів з протилежними спінами. Якщо зона утворена з повністю заповненого електронами атомного рівня, то всі рівні такої зони також повністю заповнені. Зрозуміло, що це стосується зон, утворених з глибоких атомних рівнів. Електрони таких зон не можуть брати участь в електричних і теплових явищах, бо ні енергія електричного поля, ні теплова енергія не є достатніми для переводу електрона в сусідню вищу зону, а переходи в межах заповненої зони неможливі.

Інша ситуація в зонах, утворених з частково заповнених рівнів, тобто рівнів валентних електронів. Зрозуміло, що такі зони будуть заповнені також частково. Для прикладу розглянемо зону, утворену з атомного s-рівня, на якому перебуває лише один (валентний) електрон (Li, Na, K тощо). Якщо кристалічна решітка утворена з N атомів, то вказана зона має N рівнів, на яких може розміститись 2N електронів. Оскільки валентних електронів лише N, то заповниться лише половина зони (рис. 7.27 а). А це означає, що під впливом зовнішнього збудження (тепло, електричне поле) електрони можуть вільно переходити на вищі рівні в межах однієї зони, тим самим збільшувати свою енергію, тобто прискорюватися. Отже, електрони в частково заповненій зоні є носіями струму. Тому така зона, яку ми назвемо валентною, є одночасно зоною провідності. В залежності від характеру заповнення валентної зони всі тверді тіла поділяються на метали, з одного боку (рис. 7.27 а), і напівпровідники та діелектрики, з іншого (рис. 7.27 б). В металах валентна зона (v-зона) заповнена частково, всі вищі зони порожні, всі нижчі зони заповнені повністю. В напівпровідниках і діелектриках v-зона заповнена повністю (при Т = 0) і тому не може бути зоною провідності. Наступна вища зона при Т = 0 повністю порожня. Ця зона називається зоною провідності (c-зоною), бо при певних умовах (Т ¹ 0) в ній можуть з’явитися електрони, які будуть носіями струму. Енергетична відстань між дном c-зони (Е_с) і стелею v-зони (Е_v) називається забороненою зоною Е_g = E_c – E_v. Якщо Е_g < 2,5eB, то речовина – напівпровідник, якщо Е_g > 2,5eB, то – діелектрик.

Появу носіїв струму в напівпровідниках пояснимо, використавши плоску модель кристалічної решітки атомного напівпровідника, наприклад, Ge (рис.7.28). Такий напівпровідник має тетраедричну кристалічну структуру, при якій кожен атом оточений чотирма сусідами. Зв’язок між сусідніми атомами забезпечується двома валентними електронами з протилежними спінами. При Т = 0 всі валентні електрони перебувають на зв’язках, “зайвих” електронів немає, що відповідає повністю заповненій валентній зоні і порожній зоні провідності.

При нагріванні кристалу деякі електрони за рахунок енергії теплового руху можуть вийти із зв’язків, стати вільними і в електричному полі напруженістю набути швидкості напрямленого руху . На звільнене вакантне місце може перейти електрон із сусіднього зв’язку, що рівнозначне рухові дірки (hole) в протилежному напрямку зі швидкістю . Оскільки дірка рухається за полем (електрон – проти поля), то дірку слід розглядати як позитивний заряд +е. На енергетичній діаграмі теплова генерація вільних електронів і дірок зображається як перехід електрона з v-зони у c-зону (рис.7.29). Зрозуміло, що чим вища інтенсивність теплового збудження (чим вища температура), тим вища концентрація електронів (n) і дірок (р) у відповідних зонах. Відмітимо, що ця концентрація не перевищує, як правило, 0,1% від кількості енергетичних рівнів в зонах. Отже, електрони є носіями струму в майже порожній зоні провідності, а дірки – в майже повністю заповненій валентній зоні.

Енергія вільного електрона

, (7.89)

де р – імпульс електрона.

В багатьох випадках для опису енергії електронів в металах і напівпровідниках можна користуватись цією ж формулою, але ввівши замість маси електрона m₀ ефективну масу , яка може бути як більшою, так і меншою m₀, і яка враховує взаємодію зонних електронів з полем кристалічної гратки. Аналогічно вводиться і ефективна маса зонних дірок . І тому енергії електронів і дірок виражаються через їх імпульси наступним чином

(7.90)

де відлік енергії ведеться від краю відповідної зони: вверх від Е_с для електронів і вниз від Е_v для дірок. Співвідношення (7.90) називаються законами дисперсії для зонних носіїв струму.

§7.14.2.Розподіл частинок з напівцілим спіном (ферміонів), в т.ч. і електронів, за енергіями описується квантовою функцією розподілу Фермі-Дірака

, (7.91)

де f(E) – імовірність перебувати електрону на рівні з енергією Е, а F – енергія (рівень) Фермі. Зміст останньої зрозумілий з аналізу f(E) при Т = 0. Якщо Е > F, то f (Е) = 0, тобто рівень порожній; якщо Е < F, то f (E) =1, тобто рівень заповнений. Отже, енергія Фермі відповідає найвищому рівню, який ще заповнений при Т = 0 (рис. 7.30). При Т > 0 f(E) = 1/2, якщо Е=F, тобто енергія Фермі відповідає рівню, який при ненульовій температурі заповнений наполовину (рис. 7.30).

При певних умовах, а саме, коли Е - F >> k₀Т, квантовий розподіл Фермі-Дірака переходить в класичний розподіл Максвелла-Больцмана

. (7.92)

Електронний газ, що описується таким розподілом, називається невиродженим газом. В цей же час електронний газ, що описується розподілом Фермі-Дірака, називається виродженим. Критерієм виродження є нерівність

, (7.93)

тобто виродження має місце при високій концентрації електронів, малій їх ефективній масі та низьких температурах. В металах електронний газ завжди вироджений (n » 10²² см^-3), в напівпровідниках, як правило, невироджений (n < 10¹⁸ см^-3).

В металах при низьких температурах концентрація електронів зони провідності, енергія яких лежить в інтервалі , складає

де dg(E) – кількість енергетичних рівнів у вказаному інтервалі. Якщо справедливий параболічний закон дисперсії (7.90), то нескладний розрахунок дає

.

Тоді повна концентрація носіїв у с-зоні металу при низьких температурах

(7.94)

і від температури не залежить. Енергія Фермі

,

що дає при . Середня енергія зонних електронів в металах , що значно більше від k₀Т.

А це означає, що лише незначна кількість електронів, що перебувають на рівнях, близьких до рівня Фермі, може змінити свою енергію при зміні температури. Таким чином, електронний газ в металах практично не вносить вкладу в теплоємність кристалу (див. §7.13), незважаючи на високу загальну концентрацію електронів.

В напівпровідниках рівень Фермі, як правило, лежить в забороненій зоні (рис.7.29), і тому при розрахунку концентрації невироджених електронів в зоні провідності потрібно врахувати, що функція розподілу (7.92) в усьому діапазоні енергій Е > E_c менша від одиниці і залежить від температури. І тому

,(7.95)

де А_n – множник, який слабо залежить від температури і визначається ефективною масою носіїв, а Е_g – ширина забороненої зони.

Як слідує з (7.95), з ростом температури концентрація зонних (вільних) електронів збільшується за експоненційним законом. Ця формула справедлива лише для бездомішкового, т.з. власного, напівпровідника. Зрозуміло (див. рис. 7.29), що концентрація дірок у валентній зоні дорівнює концентрації електронів в зоні провідності: n = p = n_i – власна концентрація носіїв струму.

Ситуація радикально змінюється, коли в напівпровідник ввести домішки. Зокрема, коли вводяться донорні домішки, тобто домішки, які легко віддають електрони в c-зону, то n >> p; такий домішковий напівпровідник називається електронним (n-типу). Якщо ж вводяться акцепторні домішки, тобто домішки, які легко захоплюють електрони з v-зони, то p >> n; такий домішковий напівпровідник називається дірковим (р-типу). В класичних напівпровідниках Ge i Si в ролі донорних домішок виступають As, P, а акцепторних – Ga, Іn.

Оскільки енергія іонізації донорів та акцепторів значно менша від ширини забороненої зони, то енергетичні рівні цих домішок розміщені в забороненій зоні на відстані енергії іонізації (e_Д, e_А) від дна зони провідності чи вершини валентної зони, відповідно (рис. 7.31). При низьких температурах, коли іонізація домішок є слабкою, а власна генерація носіїв – несуттєва, концентрація носіїв в зонах запишеться:

для n-типу: , (7.96)

для p-типу: , (7.97)

де B_n і B_p – множники, які слабо залежать від температури, а визначаються концентрацією відповідних домішок і ефективною масою носіїв струму. Отже, і в цьому випадку концентрація носіїв збільшується експонеційно з ростом температури кристалу. Відмітимо, що рівень Фермі в домішкових напівпровідниках розміщений біля країв відповідних зон (рис. 7.31).