Наближені обчислення зі значеннями тригонометричних функцій

Кількість значущих цифр в значені тригонометричних функцій кута залежить від того, з якою точністю заданий кут. В процесі вимірювання кута його значення може бути отримане з точністю до градуса або хвилини, секунди або іще точніше . Однак в шкільному курсі фізики значення кута зазвичай задано з точністю до градуса. Тому при розв’язуванні задач, в яких застосовуються тригонометричні функції, можна користуватись наступним правилам підрахунку цифр.

Правило 8. Якщо значення кута задано з точністю до градуса, то в значенні тригонометричної функції слід зберігати дві значущі цифри.

Наприклад: , , , , .

Розглянемо приклад застосування правила 8 у фізичних задачах.

Задача 1.

Обчисліть роботу сили 1 Н (точно) на шляху 24,98 м, якщо кут між напрямком сили і напрямком переміщення рівний 55⁰.

Розв’язування.

За умовою F=1 Н (точно), в числі s=24,98 м чотири значущі цифри, а за правилом 8, застосовуючи запасну цифру, можна записати: . Тоді A=1^.24,98^.0,574.

Так, як число 0,574 має тільки дві значущі цифри, можна для спрощення обчислень попередньо заокруглити число 24,98 до трьох значущих цифр: Дж.

В фізичних задачах буває необхідно знайти значення кута за відомим значенням тригонометричної функції. Найбільш точно значення кута визначається за тангенсом або котангенсом.

Сформулюємо правило підрахунку цифр, що дозволяє знаходити значення кута з точністю до градуса. В більшості випадків це правило виявляється достатнім для розв’язування задач з шкільного курсу фізики.

Правило 9. Якщо значення тригонометричної функції має не менше двох правильних значущих цифр, то значення відповідного кута записують з точністю до градуса.

Приклади.

sinα=0,12	α 70
cosβ=0,084	β 850
tgγ=1,8	γ 610
tgφ=0,716	φ 360

Розглянемо задачу, в якій застосовуються правила 8 і 9.

Задача 2.

Знайдіть кут заломлення сонячних променів, які падають на поверхню води під кутом 65⁰ до горизонту.

Розв’язування.

Значення показника заломлення береться з трьома значущими цифрами (правило 6): n=1,33. Тому:

.

В значенні sin 25⁰ 0,423 остання цифра запасна. Результат є проміжним тому запасну цифру поки що зберігаємо. Так, як має дві значущі цифри, то у відповідності з правилом 9 значення кута беремо з таблиці з точністю до градуса: .

Правило 8 застосовується в тому випадку, коли значення кута задано з точністю до градуса. У випадку більшої точності задання кута потрібно мати на увазі таке доповнення до правила 8:

Доповнення. В тих випадках, коли значення кута задано з точністю до десятків хвилин, в значенні тригонометричної функції потрібно зберігати на одну або дві значущі цифри більше ніж рекомендується правилом 8.

Приклад.

, , , .

При обчисленні із значеннями тригонометричних функцій можна користуватись і методом меж. Застосування цього методу ґрунтується на, тому, що за межами зміни значення кута легко знайти нижню і верхню межі значень кожної тригонометричної функції.