Діаграма № 2.1. Відношення часткового збігу між поняттями.

Третім відношенням, в якому можуть знаходитися поняття, є відношення підпорядкування, яке характеризується тим, що обсяг одного поняття є частиною обсягу іншого поняття. Так, у відношенні підпорядкування знаходяться поняття чотирикутник і трапеція, чотирикутник і паралелограм, паралелограм і квадрат (наприклад, кожен квадрат є паралелограмом, але не кожен паралелограм є квадратом). Поняття, яке має більший обсяг, називається підпорядковуючим поняттям, а поняття, що має менший обсяг, – підпорядкованим. Якщо у відношенні підпорядкування знаходяться два загальних поняття, то підпорядковуюче поняття називають родовим поняттям або родом, а підпорядковане поняття називають видовим поняттям або видом. Так, паралелограм є родовим поняттям, а поняття квадрата – видовим. Співвідношення між цими поняття представлене на діаграмі № 2.2.

Діаграма № 2.2. Відношення підпорядкування між поняттями.

Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).

2. У багатьох науках, зокрема в математиці, створення нового поняття розпочинається чи завершується введенням його означення. Означення - це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Означення поняття дає можливість розпізнавати даний об’єкт чи явище та відносити чи не відносити його до даного поняття. В науці існують різні види та способи означення понять, серед яких можна виділити принаймні наступні:

1) явні означення, які мають форму рівності або співпадання двох понять, наприклад: квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні, або ромб, у якого всі кути прямі;

б) неявні означення, які не мають форми співпадання двох понять, наприклад: коло – це межа круга;

в) генетичні означення, які розкривають способи побудови або утворення поняття, наприклад: циліндром називається геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін;

г) індуктивні (рекурентні) означення, наприклад: арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, більший від попереднього на одне й теж саме, стале для даної послідовності, число;

д) означення через абстракцію, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. При таких означеннях використовується поняття розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються, та перехід від даної множини Х до фактор-множини. Прикладом такого означення є означення натурального числа в теоретико-множинній або кількісні теорії: натуральним числом називається спільна властивість класу скінченних еквівалентних між собою множин.

У курсі математики початкової школи зустрічаються, в основному, неявні означення, серед яких можна виділити такі:

1) контекстуальні означення, в яких зміст нового поняття розкривається за допомогою частини тексту, тобто через контекст, через аналіз конкретної ситуації, що описує зміст поняття, що вводиться. Наприклад: 3+х=9. 2, 3, 6, 7, х – невідоме число, яке потрібно знайти. Яке з цих чисел потрібно підставити замість х, щоб рівність була правильною? Це число 6. В цьому контексті неявно формується поняття рівняння та його кореня;

2) остенсивні означення, які використовуються для введення термінів шляхом демонстрації об’єктів, які цим терміном позначаються. Наприклад: 9•4=36, 2•8=16 – це рівності.

Слід відзначити, що до означення понять ставлять певні вимоги, серед яких назвемо найважливіші:

1) означувані поняття та поняття, через які вони означаються, повинні бути сумірними, тобто обсяг означуваних понять повинен бути частиною обсягу поняття, через яке воно означається: поняття повинні знаходитися у відношенні часткового збігу або підпорядкування;

2) означення не повинні містити зачарованого кола, коли поняття визначається через саме себе, наприклад: маслом називається масло, паралелограмом називається такий паралелограм …;

3) в означенні слід вказати всі властивості, які дозволяють однозначно виділити об’єкти, що належать цьому поняттю;

4) в змісті поняття не повинно знаходитись надлишкових ознак. Так, наприклад, у школі прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі. Вимога всі кути прямі є надлишковою, бо достатньо вказати, що прямокутником називають паралелограм, у якого один кут прямий. Адже тоді можна було б довести, що всі кути прямокутника прямі.

Одним із видів явних означень є так зване означення через найближчий рід та видову відмінність. У такому означенні ототожнюється два поняття: 1) це означуване поняття; 2) – це поняття, через яке воно означається. Наприклад: ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. В цьому означенні ототожнюється поняття ромба і паралелограма, у якого всі сторони рівні. Якщо розглянути структуру цього означення, то вона складається з таких структурних елементів: по-перше, з означуваного поняття, тобто ромба; по-друге, вказується поняття, яке називають визначальним або родовим поняттям, тобто паралелограм; по-третє, вказується властивість, яка відрізняє нове поняття від визначального, тобто властивість “мати рівні сторони”. Поняття паралелограма є родовим поняттям по відношенню до поняття “ромб“. Властивість “мати рівні сторони“ є видовою ознакою, а поняття “ромб“ є видовим поняттям. Структуру такого означення можна представити у вигляді схеми (див. схему № 2.1.).

= +

ромб