Операція кон'юнкції висловлень.

4.1. За допомогою яких слів в мові з одних простих речень можна утворювати складні? – не, і, або, якщо,… то, тоді і тільки тоді, необхідно і достатньо тощо. Як же в математичній логіці із простих висловлень буде утворювати складені? – за допомогою певних операцій (одну із яких, заперечення ми вже розглянули), які певним чином відповідатимуть названим словам або словосполученням. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 - просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „і” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте і парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають кон'юнкцією (грецьк. сonjunctio” - зв'язок, союз) даних висловлень і позначають так: аÙb. Символічний запис аÙb читають так: „а і b”, або „а в кон'юнкції з b”, або „кон'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÙb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення а і b.

Інколи означення формулюють і так: «кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÙb, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне із висловлень а і b». Легко довести, що обидва ці означення рівносильні. Крім цього, означення кон'юнкції двох висловлень можна задати за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 2.3.).

Таблиця № 2.3. Таблиця істинності для операції кон’юнкції.

Яку операцію над числами нагадує нам означення кон’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – операцію множення чисел. Саме тому операцію кон'юнкції називають логічним множенням. Означення операції кон'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: кон’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне з висловлень а, b і с, тобто аÙbÙс=(аÙb)Ùс. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо кон’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.

Безпосередньо із означення кон’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) аÙ1=а; 2) аÙ0=0; 3) аÙа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція кон’юнкції висловлень підкоряється комутативному (переставному) аÙв=вÙа та асоціативному (сполучному) законам (аÙв)Ùс=аÙ(вÙс), які потребують доведення. Ці закони доводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі асоціативного закону операції кон’юнкції (див. таблицю № 2.4. Для того, щоб визначити кількість стовпців, слід підрахувати кількість елементарних і складених висловлень у лівій та правій частинах формули. Отже, маємо три елементарних висловлення (а, в, с) та чотири складених висловлення (аÙв, (аÙв)Ùс, вÙс, аÙ(вÙс)), тобто всього буде сім стовпців. Кількість рядків обчислюється за формулою 2ⁿ+1, де n – це кількість елементарних висловлень. Оскільки у формулі n=3, то рядків буде 2³+1=9. Для заповнення трьох перших стовпців зазначимо, що в них слід записати всі можливі варіанти наборів значень істинності елементарних висловлень а, в, с. У другому рядку перших трьох стовпців записуємо нулі, в наступних трьох – по два нулі й одній одиниці. У 6-8 рядках перших трьох стовпців запишемо по одному нулю та по дві одиниці. І, нарешті, в останньому запишемо три одиниці. Інших варіантів наборів значень істинності немає. Для заповнення четвертого стовпця виконаємо кон’юнкцію першого і другого стовпців, а для заповнення п’ятого стовпця – кон’юнкцію третього і четвертого стовпців. Аналогічно заповнюємо шостий і сьомий стовпці.

Таблиця № 2.4. Доведення асоціативного закону операції кон’юнкції.

Таким чином, щоб переконатися у справедливості асоціативного закону операції кон’юнкції, слід порівняти значення, які містяться у стовпцях, що визначають ліву й праву частині рівності (аÙb)Ùс=аÙ(bÙс). Порівнюючи значення п’ятого і сьомого стовпців, бачимо, що вони приймають однакові значення при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень, що входять до їх складу. Отже, права і ліва частина формули (аÙb)Ùс=аÙ(bÙс) набуває однакових значень істинності при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень. Це означає, що закон справедливий. Доведення комутативного закону пропонуємо провести самостійно (див. завдання для самостійної роботи студентів).