Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Операція імплікації висловлень.




Читайте также:
  1. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
  2. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
  3. Економічні нормативи в системі контролю за банківськими операціями
  4. Операція диз’юнкції над висловленнями.
  5. Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.
  6. Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
  7. Операція еквіваленції висловлень.
  8. Операція еквіваленції предикатів.
  9. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.

6.1. Ми вже розглянули три операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали частка не чи сполучники: і, або. У математиці досить часто використовуються словосполучення «якщо …, то …», слова «випливає», «слідує» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «якщо …, то …» або слова «слідує» нове висловлення: „якщо число 2 – просте, то воно парне” або «із того, що число 2 – просте, слідує (випливає), що воно парне». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають імплікацією (грецьк. Implico– тісно зв'язую) даних висловлень і позначають так: а→b або аÞb. Символічний запис а→b або аÞb читають так: „якщо а, то b”, або „з а слідує (випливає) b”, або „імплікація а і b”, або „а імплікує в b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: імплікацією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а→b, яке хибне тоді і тільки тоді, коли висловлення а істинне, а висловлення b – хибне, і істинне в усіх інших випадках.

За допомогою таблиці істинності операцію імплікації можна задати так (див. таблицю №2.7.).

 

а в а→b

Таблиця № 2.7. Таблиця істинності для операції імплікації висловлень.

 

В імплікації а→b висловлення а називають або умовою, або посилкою, або основою імплікації, а висловлення b – висновком або наслідком імплікації. Зв'язок між операцією імплікації та операціями заперечення та диз'юнкції задається за допомогою такої формули: а→b=āÚв.Доведемо її за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 2.8.). Порівнюючи 3 і 5 стовпчики, бачимо, що вони набувають однакових значень істинності при будь-яких наборах значень істинності висловлень а і b.

 

а в а→b ` ā ` ā Úв

Таблиця № 2.8. Доведення формули а→b=āÚв.



 

Розглянемо імплікацію:а→b=„якщо число закінчується на 0, то воно ділиться на 5”.Домовимося називати її даною або прямою імплікацією. Переставивши місцями умову та висновок, одержимо нову імплікацію b→а=„якщо число ділиться на 5, то воно закінчується нулем”. Така імплікація називається оберненою до даної. Замінимо в даній імплікації а→bумову і висновок їх запереченнями. Отримаємо нову імплікацію`ā→b=„якщо число не закінчується на 0, то воно не ділиться на 5”, яку називають імплікацією, протилежною до даної. Поміняємо в останній імплікації місцями умову та висновок. Тоді одержимо імплікацію`в→ā=„якщо число не ділиться на 5, то воно не закінчується нулем”. Цю імплікацію називають імплікацією протилежною до оберненої або оберненою до протилежної. Таким чином, маємо чотири види імплікації: 1) а→b – пряма; 2) b→а – обернена до даної; 3) ā→b - протилежна до прямої; 4)`b→ā - протилежна до оберненої або обернена до протилежної. Виникає запитання: як ці види імплікацій пов’язані між собою? Для виявлення зв'язку між імплікаціями побудуємо таблицю істинності (див. таблицю № 2.9.).



           
     

а в `b а →b b→а `а→b `b →а

Таблиця № 2.9. Доведення рівносильності різних видів імплікацій.

Аналізуючи побудовану таблицю, бачимо, що значення 5-го і 8-го стовпців приймають однакові значення істинності при всіх наборах значень істинності висловлень, що до них входять. Саме тому можна твердити, що справедливі такі рівності: а→b=b→а та b→а=а→b.Таким чином, маємо дві пари рівносильних між собою імплікаційа→b=b→а та b→а=а→b. Це дає змогу визначати істинність не всіх чотирьох імплікацій, а лише двох (по одній із кожної пари), бо істинність двох інших випливатиме із рівносильності пар імплікацій.

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 86; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты