Ранговые коэффициенты связи. В социально-экономических исследованиях нередко встречаются ситуации, когда признак не выражается количественно

В социально-экономических исследованиях нередко встречаются ситуации, когда признак не выражается количественно, однако единицы совокупности можно упорядочить. Такое упорядочение единиц совокупности по значению признака называется ранжированием. При ранжировании каждой единице совокупности присваивается ранг, то есть порядковый номер.

Измерение связи между ранжированными признаками производится с помощью ранговых коэффициентов корреляции Спирмена и Кендэлла . Эти методы применимы не только для качественных, но и для количественных показателей, особенно при малом объеме совокупности, так как непараметрические методы ранговой корреляции не связаны ни с какими ограничениями относительно характера распределения признака.

Сущность метода Спирмена состоит в следующем:

1) располагают варианты факторного признака по возрастанию – ранжируют единицы по значению признака ;

2) для каждой единицы совокупности указывают ранг с точки зрения результативного признака .

Если связь между признаками прямая, то с увеличением ранга признака ранг признака также будет возрастать; при тесной связи ранги признаков и в основном совпадут. При обратной связи возрастанию рангов признака будет, как правило, соответствовать убывание рангов признака В случае отсутствия связи последовательность рангов признака не будет обнаруживать никакого порядка возрастания или убывания.

Теснота связи между признаками оценивается ранговым коэффициентом корреляции Спирмена:

(7.1)

где разность рангов признаков и ; число наблюдаемых единиц.

В случае отсутствия связи При прямой связи коэффициент положительная правильная дробь, при обратной – отрицательная.

Кендэллом предложен другой показатель измерения корреляционной связи, также с использованием рангов признаков:

(7.2)

где число наблюдений; сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2) значения располагаются в порядке, соответствующем значениям ;

3) для каждого ранга определяется число следующих за ним рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяется величина как мера соответствия последовательностей рангов и и учитывается со знаком ;

4) для каждого ранга определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через и фиксируется со знаком ;

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда ( ).

Связь можно признать статистически значимой, если значения ранговой корреляции Спирмена и Кендэлла больше 0,5.

Предлагается определить зависимость между величиной балансовой прибыли и объемом реализованной продукции для группы предприятий с помощью ранговых коэффициентов корреляции. Далее приводится процедура определения коэффициентов в среде Excel.

1. Создается новый файл с именем Ранговые коэффициенты.

2. В диапазоне B3:C12 записываются исходные данные, представленные на рис.12.

3. При генерировании значений своего варианта в ячейке D3 записывается формула =НОРМОБР(СЛЧИС();B3;0,3*B3) и протаскивается по диапазону D3:E12.

4. После этого значения диапазона D3:E12 копируются. Перейдя в ячейку B15, в меню Правка выбирается Специальная вставка. В раскрывшемся окне диалога Специальная вставка необходимо сделать следующие установки: в поле Вставить активизировать с помощью левой кнопки мышкиЗначения; в поле Операция оставить нет. После нажатия кнопки Enter все значения показателей, сформированные в диапазоне D3:E12, будут скопированы в диапазоне B15:C24 и при этом не будут носить случайный характер (см. рис.13).

5. Определяя (ранг признака ), в ячейку D15 записывается формула =РАНГ(B15;$B$15:$B$24) и протаскивается по столбцу до 25 строки.

6. При определении ранга признака в ячейку E15 записывается формула =РАНГ(C15;$C$15:$C$24) и протаскивается по столбцу до 25 строки.

7. Определив сумму квадратов разностей признаков и , рассчитывается коэффициент Спирмена. Для этого в ячейку G26 записывается формула =1-6*G25/(A24*(A24^2-1)).

8. Номера предприятия располагаются в порядке убывания рангов признака ( ). Для этого в ячейку B29 записывается формула =ПОИСКПОЗ(A15;$D$15:$D$24;0) и протаскивается по столбцу до строки 39 (см. рис.14).

9. Значения признака располагаются в порядке, соответствующем значениям . Для этого:

· в ячейку C29 записывается формула =ИНДЕКС($A$15:$C$24;B29;2),

· в ячейку D29– =ИНДЕКС($A$15:$C$24;B29;3),

· в ячейку E29 – =РАНГ(D29;$D$29:$D$38),

· все формулы протаскиваются до 38 строки.

10. При определении для каждого ранга числа следующих за ним рангов, превышающих его величину, в ячейку F29 записывается формула =РАНГ(E29;E29:$E$38)-1, протаскивается до 38 строки по столбцу и значения диапазона F29 :F38 суммируются ( ).

11. При определении для каждого ранга числа следующих за ним рангов, меньших его величины, в ячейку G29 записывается формула =РАНГ(E29;E29:$E$38;1), протаскивается до 38 строки по столбцу и значения диапазона G29 :G38 суммируются ( ).

12. При определении коэффициента Кендэлла в ячейку G40 записывается формула =2*(F39-G39)/(A24*(A24-1)).

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) ( ), который вычисляется по формуле:

(7.3)

где количество факторов; число наблюдений; отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Значимость коэффициента конкордации проверяется на основании критерия Пирсона:

(7.4)

Расчетное значение сравнивается с при заданной вероятности и степени свободы

На рис. 15 представлено определение зависимости между величиной балансовой прибыли, объемом реализованной продукции и среднегодовой стоимостью основных производственных фондов для группы предприятий с помощью коэффициента конкордации.

Рис. 12. Экранная форма для генерирования исходных данных для определения ранговых коэффициентов корреляции

Рис. 13. Экранная форма определения коэффициента Спирмена

Рис. 14. Экранная форма определения коэффициента Кендэлла

Рис. 15. Экранная форма определения коэффициента конкордации