Проверка наличия гетероскедастичности

Задание:

1) графически и с помощью тестов проверить наличие гетероскедастичности;

2) при наличии гетероскедастичности с помощью тестов Уайта, Парка и Глейзера выбрать наилучшую аппроксимацию или ( по значению коэффициента детерминации R²) и с помощью ВМНК скорректировать уравнение регрессии.

Пример 4.1. В табл. 4.1 приведены данные об объеме импорта Y (млрд долл.), валовом национальном продукте Х₁ (млрд долл.) и индексе потребительских цен Х₂ в США за период с 1964 по 1979 г.

Таблица 4.1

Параметры множественной регрессии определим с помощью функции ЛИНЕЙН и построим графики и (рис. 4.1.).

Рис. 4.1

Из рис. 4.1 видно, что уравнение множественной регрессии имеет вид:

.

Качество уравнение регрессии в целом достаточно высокое (R² = 0.987). Из графиков распределения видно, что ошибки зависят от факторов, причем эта зависимость имеет явно нелинейный характер. Однозначно из графиков сказать нельзя присутствует ли гетероскедастичность и в какой степени.

Если гетероскедастичность существует, то носит явно нелинейный характер. Поэтому проверки с помощью тестов Спирмена и Голдфелда-Квандта здесь не правомочны. Покажем это.

Тест ранговой корреляции Спирмена

Результаты реализации этого теста на компьютере представлены на рис.4.2.

Рис. 4.2

Обозначения на рисунке имеют следующий смысл:

модЕ = ; dкв = (ранг х_i - ранг )².

Для вычисления рангов была использована статистическая функция РАНГ(число; массив; порядок), которая возвращает ранг числа из массива. Если порядок равен 1, то ранжирование по возрастанию, если порядок равен0 – ранжирование по убыванию. Так как Т_набл , то коэффициент ранговой корреляции Спирмена статистически не значим, что является признаком отсутствия гетероскедастичности в смысле Спирмена (что априорно и предполагалось).

Тест Голдфелда-Квандта

В связи с тем, что выборка небольшая (n = 16), принимаем k = 8. Результаты анализа с помощью этого теста представлены на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Из рис. 4.3 видно, что S₁ = 2,816, а S₂ = 384,85, в результате чего

= 136,68 > f_кр = 4,28, что с одной стороны свидетельствует о значительных расхождениях отклонений в начале и в конце списка данных, но это обусловлено двумя «выбросами» (см. рис. 4.1), а вовсе не тенденцией . Как уже было отмечено выше, наиболее подходящим тестом для выявления гетероскедастичности, в этом случае, является тест Уайта.

Тест Уайта

В этом тесте будем предполагать, что квадраты ошибок можно представить уравнением вида

Результаты расчетов с помощью функции Линейнпредставлены на рис. 4.4. Из рис. 4.4 следует (2,442274) < (3,325835), что свидетельствует об отсутствии регулярности ошибок, а это значит гетероскедастичностью можно пренебречь.

Рис. 4.4

Если бы факт гетероскедастичности подтвердился, то все составляющие исходного уравнения

необходимо разделить на , которые для данного примера вычисляются по формуле

,

и оценить его. В результате чего уравнение регрессии будет адаптировано к переменным дисперсиям ошибок измерений.