УДК 070(075.8) ББК 76.01я73 С 24 1 страница

Вид степенной средней	Формула расчета
простая	взвешенная
Арифметическая
Гармоническая		где =
Геометрическая
Квадратическая
Кубическая

В интервальном вариационном ряду для расчета средней арифме­тической взвешенной определяются и используются значения сере­дины интервалов.

Рассмотрим методологию применения разных видов степенных средних на основе расчета средней заработной платы по двум пред­приятиям вместе: за январь, февраль и за два месяца. Исходные дан­ные представлены в табл. 5.

Таблица 5

Определим исходные соотношения средней для показателя «средняя заработная плата»:

За январь мы располагаем данными о средней заработной плате и численности работников, т.е. нам известен знаменатель исходного соотношения, но неизвестен его числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на чис­ленность работников. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где -i-й вариант осредняемого признака,

-вес i-ого варианта.

За февраль мы имеем только данные о средней заработной плате и фонде оплаты труда, т.е. нам известен числитель исходного соотно­шения, но неизвестен знаменатель. Численность работников по каждо­му предприятию можно получить делением фонда оплаты труда на среднюю заработную плату. Тогда средняя заработная плата в целом по двум предприятиям будет рассчитываться по формуле

,

где .

За два месяца средняя заработная плата по двум предприятиям определяется по формуле средней арифметической простой (невзвешенной), так как веса (f) отсутствуют или равны.

(руб.),

где n-число единиц или объем совокупности.

Таким образом, исходя из приведенных данных, были применены разные виды степенных средних.

Средняя геометрическая используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая и степенные средние более высоких порядков используются при расчете ряда статистических показателей, характеризующих вариацию и взаимосвязь.

6. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

6.1. ПОНЯТИЕ ВАРИАЦИИ. РАСЧЕТ СРЕДНЕГО ЛИНЕЙНОГО ОТКЛОНЕНИ

Различие в индивидуальных значениях признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что его индивидуальные значе­ния складываются под совокупным влиянием разнообразных факто­ров, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина – это абстрактная, обобщающая характери­стика признака изучаемой совокупности, но она не показывает стро­ения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Сред­няя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены они вблизи или значительно отклоняются от нее.

В тех случаях, когда отдельные значения признака близко при­мыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются, средняя хорошо представляет всю совокупность. В тех же случаях, когда отдель­ные значения совокупности далеко отстают от средней, средняя плохо представляет всю совокупность.

Колебания отдельных значений характеризуют показатели вариации. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающим­ся влиянием различных факторов. Различают случайную и систематическую вариации признака.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих его факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а, следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц х, к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним.

Для характеристики колебания признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них – размах вариации.

Размах вариации (R) – это разность между наибольшим (х_тах) и наименьшим (x_min) значениями вариантов

Пример 1. Имеются следующие данные об объемах товарооборота предприятий.

Определяем показатель размаха вариации: R = 130 - 90 = 40 (млн руб.).

Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отра­жает отклонений всех вариантов в ряду.

Для того чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учи­тывает различие всех единиц изучаемой совокупности.

Среднее линейное отклонение определяется как средняя ариф­метическая отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений:

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:

1) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая:

2) определяются отклонения каждого вариантах x_i, от средней: x_i-x;

3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений:

4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений

Пример 2. Имеются следующие данные о производительности рабочих.

Рассчитаем среднее линейное отклонение:

Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляет­ся по формуле средней арифметической взвешенной:

Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного следующий:

1) вычисляется средняя арифметическая взвешенная:

2) определяются абсолютные отклонения вариантов от средней:

3) полученные отклонения умножаются на частоты:

4) находится сумма взвешенных отклонений без учета знака:

5) сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

6 . 2. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ И СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПО ИНДИВИДУАЛЬНЫМ ДАННЫМ И В РЯДАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно назы­вается средним квадратом отклонений и обозначается а². В зависимо­сти от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

дисперсия невзвешенная (простая);

дисперсия взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая харак­теристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается

среднее квадратическое отклонение невзвешенное

среднее квадратическое отклонение взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежно­сти средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем луч­ше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокуп­ность.

Вычислению среднего квадратического отклонения предшеству­ет расчет дисперсии.

Порядок расчета дисперсии взвешенной следующий:

1) определяют среднюю арифметическую взвешенную: ;

2) рассчитывают отклонения вариантов от средней:

3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта от средней: ;

4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5) суммируют полученные произведения:

6) полученную сумму делят на сумму весов:

Пример 3. Имеются следующие данные о производительности труда ра­бочих.

Произведено продукции одним рабочим, шт. (Xj варианта)	Число рабочих, человек ( )
			-2
			-1
Итого

Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице.

Определим дисперсию:

Среднее квадратическое отклонение будет равно

(шт.)

Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то сначала нужно определить дискретное значение признака, а затем применить изложенный метод.

Пример 4. Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на дан­ных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пше­ницы.

Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га ( )
14-16				-3,4	11,56
16-18				-1,4	1,96
18-20				0,6	0,36
20-22				2,6	6,76
Итого

Средняя арифметическая равна

(ц/га)

Вычислим дисперсию: .

6.3. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ ПО ФОРМУЛЕ ПО ИНДИВИДУАЛЬНЫМ ДАННЫМ И В РЯДАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значени­ях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упро­стить, используя свойства дисперсии.

Дисперсия имеет следующие свойства.

1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего при­знака в определенное число раз дисперсию не изменяет.

2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсию не изменяет.

3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз k соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в k² раз, а среднее квадратическое отклонение – в k раз.

4. Дисперсия признака относительно произвольной величины( ) всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величинами: . Если А = 0, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими. Порядок расчета дисперсии простой:

1) определяют среднюю арифметическую:

2) возводят в квадрат среднюю арифметическую:

3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта ряда: x²_i;

4) находят сумму квадратов вариантов: ;

5) делят сумму квадратов вариантов на их число, т.е. определяют средний квадрат:

6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней:

Пример 5. Имеются следующие данные о производительности труда ра­бочих.

Произведем следующие расчеты:

(шт.)

Рассмотрим расчет дисперсии в интервальном ряду распределения. Порядок расчета дисперсии взвешенной (по формуле ) следующий:

1) определяют среднюю арифметическую:

2) возводят в квадрат полученную среднюю: ;

3) возводят в квадрат каждый вариант ряда: ;

4) умножают квадраты вариантов на частоты:

5) суммируют полученные произведения:

6) делят полученную сумму на сумму весов и получают средний

квадрат признака:

7) определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию:

6.4. ПОКАЗАТЕЛИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАССЕИВАНИЯ

Для характеристики меры изменения изучаемого признака исчисляются показатели изменения в относительных величинах.

Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распре­делениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравне­нии разноименных совокупностей). Показатель меры относительного рассеивания рассчитывается как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

1. Коэффициент осцилляции (К_о) отражает относительное изменение крайних значений признака вокруг средней:

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

3. Коэффициент вариации (V):

Поскольку среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику изменяемости всех вариантов совокупности, коэффи­циент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних вели­чин. Исходят из того, что если V больше 40%, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

6.5. ПОКАЗАТЕЛИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ

Наряду со средней арифметической в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, сред­няя гармоническая может быть простой и взвешенной.

Характеристиками вариационных рядов наряду со средними явля­ются мода и медиана.

Мода – это величина признака (варианта), наиболее часто повто­ряющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распре­деления модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода (Мо) определяется

по формуле

где начальное значение интервала, содержащего моду

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – это варианта, расположенная в середине вариацион­ного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упоря­доченного ряда (упорядоченный ряд – это расположение единиц сово­купности в возрастающем или убывающем порядке).

7.1. ПОНЯТИЕ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рядами распределения называются группировки особого вида, при которых по каждому признаку, группе признаков или классу признаков известны численность единиц в группе либо удельный вес этой числен­ности в общем итоге.

Ряды распределения могут быть построены или по количествен­ному, или по атрибутивному признаку. Ряды распределения, постро­енные по количественному признаку, называются вариационными рядами. Ряд распределения может быть построен по непрерывно варь­ирующему признаку (признак может принимать любые значения в рам­ках какого-либо интервала) и по дискретно варьирующему признаку (принимает строго определенные целочисленные значения).

Анализ рядов распределения осуществляется с помощью следу­ющих показателей (показатели центра распределения).

Средняя арифметическая взвешенная ( ): ,

где - середина интервала:

и – нижняя и верхняя границы интервалов соответственно.

Медиана (Me) – середина ранжированного ряда.

В интервальном вариационном ряду медиана рассчитывается по формуле ,

где , – нижняя граница медианного интервала; h- ширина интервала, S_Me-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному, f_Me – частота медианного интервала.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

В интервальном вариационном ряду мода находится в интервале с максимальной частотой и рассчитывается по формуле, которую мы уже приводили:

где – нижняя граница модального интервала; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; ^– частота интервала, следующего за модальным.

7.2. ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРАФИКОВ

Большое значение при изучении социально-экономических про­цессов и явлений имеет графическое изображение статистической информации. Правильно построенный график делает статистическую информацию более выразительной, запоминающейся и удобно воспри­нимаемой. Графический метод широко применяется для иллюстрации происходящих социально-экономических процессов и явлений.

Применение графиков в статистике насчитывает более чем двух­сотлетнюю историю. Основоположником графического метода в ста­тистике коммерческой деятельности считают английского экономи­ста У. Плейфейра (1731-1798). В своих работах он впервые применил способы графического изображения статистических данных (линей­ные, столбиковые, секторные и другие диаграммы).

Статистические графики – это одно из самых наглядных средств представления информации.

Статистический график представляет собой чертеж, на котором при помощи условных геометрических фигур изображаются статисти­ческие данные. В результате этого получается наглядная характери­стика изучаемой статистической совокупности.

Статистический график состоит из следующих основных элементов:

■ поле графика;

■ графический образ;

■ пространственные и масштабные ориентиры;

■ экспликация графика.

Поле графика представляет собой место, на котором график выпол­няется. Это листы бумаги, географические карты, план местности и т.п. Поле графика характеризуется его форматом (размерами и пропорциями сторон). Размер поля графика зависит от его назначения.

Графический образ – это символические знаки, с помощью кото­рых изображаются статистические данные (линии, точки, прямоуголь­ники, квадраты, круги и т.д.). В качестве графического образа высту­пают и объемные фигуры. Иногда в графиках используются негеомет­рические фигуры в виде силуэтов или рисунков предметов.

Пространственные ориентиры определяют размещение графиче­ских образов на поле графика. Эти ориентиры задаются координатной сеткой или контурными линиями и делят поле графика на части, соот­ветствующие значениям изучаемых показателей.

Масштабные ориентиры статистического графика придают гра­фическим образам количественную значимость, которая передается с помощью системы масштабных шкал.