Объяснение эффекта Холла с помощью электронной теории

Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и поля возникает разность потенциалов U=j₁-j₂ (см. рис 15.1). Она называется Холловской разностью потенциалов

u_h =RbjB (15.4).

Здесь b – ширина пластинки, j – плотность тока, B – магнитная индукция поля, R – коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Холла. Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией, отсутствие магнитного поля ток в пластинке обусловливается электрическим полем Е_о (смотри рис 15.2). Эквипотенциальные поверхности этого поля образуют систему перпендикулярных к вектору Е_о скоростей. Две из них изображены на рисунке сплошными прямыми линиями. Потенциал во всех точках каждой поверхности, а следовательно, и в точках 1 и 2 одинаков. Носители тока – электроны – имеют отрицательный заряд, поэтому скорость их упорядоченного движения и направлена противоположно вектору плотности тока j.

При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под действием магнитной силы F, направленной вдоль стороны b пластинки и равной по модулю

F=euB (15.5).

В результате у электронов появляется составляющая скорости, направленная к верхней (на рисунке) грани пластинки. У этой грани образуется избыток отрицательных, соответственно у нижней грани – избыток положительных зарядов. Следовательно, возникает дополнительное поперечное электрическое поле Е_B. Тогда напряженность этого поля достигает такого значения, что его действие на заряды будет уравновешивать силу (15.5), установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Соответствующее значение E_B определяется условием: eE_B=euB. Отсюда:

Е_B=uВ. (15.6).

Поле Е_B складывается с полем Е_о в результирующее поле E. Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору напряженности поля. Следовательно, они повернутся и займут положение, изображенное на рис 15.1 пунктиром. Точки 1 и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь имеют разные потенциалы. Чтобы найти напряжение воз­никающее между этими точками, нужно умножить расстояние между ними b на напряженность Е_B:

UH=bE_B=buB (15.7).

Выразим u через j, n и e в соответствии с формулой j=neu. В результате получим:

U_H=(1/ne)bjB (15.8)

Последнее выражение совпадает с (15.7), если положить

R=1/ne (15.9)

Из (15.8) следует, что, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока в данном металле (т. е. число носи­телей в единице объема).

Важной характеристикой вещества является подвижность в нем носителей тока. Подвижностью носителей тока называется средняя скорость, приобретаемая носителями при напряженности электри­ческого поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носи­тели приобретают скорость u то подвижность их u₀ равна:

U₀=u/E (15.10)

Подвижность можно связать с проводимостью s и концентрацией носителей n. Для этого разделим соотношение j=neu на напряжённость поля Е. Приняв во внимание, что отношение j к Е дает s, а отношение u к Е – подвижность, получим:

s=neu₀ (15.11)

Измерив постоянную Холла R и проводимость s, можно по формулам (15.9) и (15.10) найти концентрацию и подвижность носи­ли тока в соответствующем образце.

		j1
			j
		b
		j2

рис 15.2

Рис 15.3