Смешанное соединение 1 страница

Схема упрощается путем замены параллельных и последовательных соединений сопротивлений на эквивалентные. Начиная с конца схемы сопротивления R₂ и R₃ включены параллельно, заменяем их на R₂₃, а с R₁ соединение последовательное.

Расчет ведется в обратном порядке:

1. По схеме 3находим I₁ =U/R.

2. По схеме 2 находим U₂₃ = I₁R₂₃.

3. По схеме 1 находим I₂ = U₂₃ /R₂, I₃ = U₂₃ /R₃.

4. Проверка: I₁ = I₂ + I₃, U₁I₁ = I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ (баланс мощностей ).

Встречается также соединения в «треугольник» и в «звезду». Они взаимно преобразуются, и схема сводится к смешанному соединению с последовательным и параллельным соединением элементов.

Примеры решения задач

1.1.

Дано: R₁ = 4 Ом;

R₂ = 6 Ом;

R₃ = 10 Ом;

R₄ = 15 Ом;

U = 120 В.

Определить: I, I₁, I₂, I₃, I₄, P.

Рис. 1.1

Упрощаем схему: R₃ и R₄ включены параллельно. Заменяем эквивалентным сопротивлением R₃₄:

Ом.

Резисторы R₂ и R₃₄ включены последовательно. Заменяем их эквивалентным сопротивлением R₂₃₄:

R₂₃₄ = R₂ + R₃₄ ; R₂₃₄ = 6 + 6 = 12 Ом.

Теперь имеем параллельное соединение, которое также приводим к одному эквивалентному сопротивлению R₁₂₃₄:

; Ом.

Расчет ведем в обратной последовательности:

1) по схеме 4 находим , А.

Мощность, отдаваемая генератором: Р = UI; Р = 120 · 40 = 4800 Вт;

2) по схеме 3 находим токи I₁ и I₂:

; А;

; А;

3) по схеме 2 находим напряжение U₃₄:

U₃₄ = I₂ · R₃₄; U₃₄ = 10 · 6 = 60 В;

4) по схеме 1 определяем токи I₃, I₄:

; А;

; А;

5) проверка: в узлах «а» и «в» проверяем первый закон Кирхгофа:

узел «а»: I = I₁ + I₂; 40 = 30 + 10;

узел «в»: I₂ = I₃ + I₄; 10 = 6 + 4.

Первый закон Кирхгофа выполняется.

Составляем баланс мощностей (мощность, отдаваемая генератором, должна быть равна сумме мощностей всех потребителей):

Р_ген = ∑Р_потр;

UI = I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ + I₄²R₄;

4800 = 30² · 4 + 10² · 6 + 6² · 10 + 4² · 15 = 4800.

Баланс мощностей соблюдается, значит задача решена верно.

1.2. Как изменятся показания приборов при замыкании выключателя SA?

Рис. 1.2

Р е ш е н и е. Замыкая выключатель, шунтируем сопротивление R. Сопротивление второй ветви уменьшается, следовательно, уменьшается сопротивление всей схемы R_сх. При неизменном напряжении сети ток I₀ по закону Ома увеличится:

Ток I₁ не изменится, т.к. сопротивление R₁ не меняется и напряжение не изменилось.

Ток I₂ возрастает, что доказывается двумя способами:

по закону Ома , где R = 0 при замыкании SA, и по первому закону Кирхгофа: I₀ = I₁ + I₂, откуда I₂ = I₀ – I₁.

Напряжение на вольтметре pV₂ возрастает до значения сетевого напряжения (ветви включены параллельно, а при разомкнутом SA напряжение U₂ было меньше, т.к. U = U₂ + U_R (последовательное соединение R₂ и R), а при замыкании SA показания вольтметра pV будут равны нулю.

1.3. Как изменятся показания приборов при замыкании выключателя SA?

Рис. 1.3

Р е ш е н и е. Имеем смешанное соединение. Ветви R₁ и (R₂ + R) соединены параллельно, а с резистором R₀ последовательно. При замыкании выключателя резистор R шунтируется, сопротивление второй ветви уменьшается (R₂ + R), проводимость ветви g₂ возрастает. Первая и вторая ветви соединены параллельно, проводимость этого соединения (g₁₂ = g₁ + g₂) также увеличивается, а сопротивление ветвей R₁₂ уменьшается. Следовательно, уменьшается сопротивление всей схемы. По закону Ома общий ток I₀ возрастает:

Так как R₀ и R₁₂ соединены последовательно, напряжение сети делится: U = = U₀ + U₁₂, откуда U₁₂ = U – U₀ уменьшается (U₀ = I₀R₀ увеличится). Ток станет меньше. Изменение тока I₂ по закону Ома не доказать: , т.к. уменьшились и напряжение ветви U₁₂, и сопротивление ветви (R₂ + R). Применяем первый закон Кирхгофа: I₀ = I₁ + I₂, откуда I₂ = I₀ – I₁. Ток I₀ увеличился, а I₁ уменьшился, следовательно, I₂ возрастает. Показания вольтметра pV₂ увеличатся по закону Ома: U₂ = I₂R₂, а вольтметр pV покажет ноль.

Глава 2. Расчет сложных цепей постоянного тока

Сложная цепь имеет два и более источника ЭДС, и направление токов нельзя определить без расчета.

Основные определения и законы Кирхгофа:

1. Ветвь – участок цепи с последовательным соединением элементов.

2. Узел – точка соединения нескольких ветвей.

3. Контур – любой замкнутый путь по цепи с началом и концом в одном узле.

4. Независимый контур – отличается от другого хотя бы одной ветвью.

I₁ + I₂ – I₃ + I₄ – I₅ = 0;

или

I₁ + I₂ + I₄ = I₃ + I₅.

II закон Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений.

.

Правило выбора знака: если ЭДС, ток совпадают с направлением обхода контура, берутся со знаком “плюс”, не совпадают – “минус”.

Методика расчета с использованием законов Кирхгофа

1. Выбираем независимые контуры, например, I и II, произвольно задаемся направлением их обхода и направлением токов в ветвях (отмечено пунктиром).

2. Составляем (n – 1) уравнений по I закону, где n – число узлов, а недостающее число уравнений – по II закону.

3. Получаем систему уравнений:

Решаем, находим токи в ветвях. Если ток получился со знаком “минус”, значит он протекает в противоположном направлении.

4. Проверка правильности решения определяется соблюдением I закона Кирхгофа и баланса мощностей.

Необходимо иметь в виду, что источники ЭДС могут работать в режиме генератора (направления тока и ЭДС совпадают) и быть потребителем энергии, если такого совпадения нет.

Метод контурных токов

1. Определяемся с числом независимых контуров и считаем, что в каждом контуре проходит свой контурный ток. Произвольно задаемся их направлениями и направлением обхода контуров (берем все по часовой стрелке).

2. Составляем уравнения по II закону Кирхгофа для выбранных контуров с учетом того, что по некоторым ветвям проходят токи нескольких контуров, а для каждого контура имеем последовательное соединение элементов.

Имеем:

E₁ – E₂ = I_I (R₁+R₂) – I_IIR₂;

E₂ – E₃ = I_II (R₂+R₃) – I_IR₂.

3. Решаем систему уравнений, определяем контурные токи. Если ток получился со знаком “минус”, значит фактически он имеет противоположное направление.

Токи в ветвях определяем по соотношениям:

I₁ = I_I; I₃ = I_II; I₂ = I_I-I_II

4. Проверка: I-й закон Кирхгофа и баланс мощностей.

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Если электрическая цепь состоит только из параллельных ветвей, т.е. имеет всего два узла, напряжение между которыми называется узловым (U_aв), то его можно определить в общем случае по формуле:

,

где E_i – ЭДС; g_i = 1/R_i – проводимость ветви.

ЭДС ветви берется со знаком “плюс”, если направлено к узлу, обозначенному первым индексом (а), и со знаком “минус”, если направлено ко второму узлу.

В нашем случае имеем:

.

Зная узловое напряжение, можно каждую ветвь рассматривать в отдельности и определить токи.

Для пассивной ветви (где нет источника ЭДС) направление тока совпадает с направлением узлового напряжения, а для активных ветвей задаемся произвольно направлениями токов и составляем уравнения по II закону Кирхгофа:

-E₁ = U_aв + I₁R₁; E₂ = U_aв + I₂R₂; -E₃ = U_aв + I₃R₃,

откуда определяем токи:

I₁ = (-U_aв – E₁)g₁; I₂ = (E₂ - U_aв)g₂; I₃ = (–E₃ - U_aв)g₃.

Кроме рассмотренных применяются и другие методы расчета сложных цепей.

Примеры решения задач

2.1. В цепи ЭДС источников питания равны Е₁, Е₂, Е₃, а сопротивления ветвей – соответственно r₁, r₂, r₃, r₄ (включая внутренние сопротивления источников питания). Определитеь силы токов во всех ветвях цепи и режим работы каждого из источников. Составьте баланс мощностей. Задачу решите двумя методами: узлового напряжения и контурных токов.

Р е ш е н и е. Определяем силы токов во всех ветвях цепи методом двух узлов. Предварительно направим все токи из узла «а».

Рис. 2.1

Определим напряжение между узлами «ав»:

, (1)

где E_i – ЭДС;

g_i = 1/R_i – проводимость ветви.

Определим токи в ветвях:

Если направления токов и ЭДС совпадают, то источник ЭДС работает в режиме генератора, если нет – потребителя. Так как все токи совпадают с ЭДС, то все источники ЭДС работают в режиме генератора.

Составим баланс мощностей:

;

;

кВт;

;

Вт.

Баланс мощностей соблюдается.

Определим токи в ветвях методом контурных токов:

Выбираем контуры: I – r₁E₁E₂r₂; II – r₂E₂r₄; III – r₄E₃r₃.

Направления обхода и токов выбираем произвольно (по часовой стрелке). Составим уравнения по II закону Кирхгофа для каждого контура:

Применим правило Крамера:

Определим токи в ветвях:

I₁ = I_I = 41,8 A;

I₂ = I_II – I_I = 76,5 – 41,8 = 34,7 A;

I₃ = I_III = 65,5 A;

I₄ = I_II – I_III = 76,5 – 65,5 = 11 A.

Значения токов совпадают с предыдущим расчетом. Задача решена правильно.

Глава 3. Расчет нелинейных электрических цепей

К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относят­ся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольтамперными характеристиками (ВАХ) I(U), т.е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нели­нейному сопротивлению напряжения.

Различают неуправляемые нелинейные сопротивления (лампы накаливания, газотроны, бареттеры, полупроводниковые диоды и т.д.), которые характеризуются одной вольтамперной харак­теристикой, и управляемые (многоэлектродные лампы, транзис­торы, тиристоры и др.), которые характеризуются семейством вольтамперных характеристик.

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока обычно осуществляют графоаналитическим методом. При этом можно использовать и аналитический метод расчета, который, однако, достаточно сложен. Для выполнения расчета нелинейных электрических цепей должна быть известна вольтамперная ха­рактеристика соответствующего нелинейного сопротивления, представленная в виде графика или таблицы.

При расчете электрических цепей с последовательным вклю­чением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений R₁ и R₂ вольтамперные характеристики соответствую­щих сопротивлений I₁(U) и I₂(U) представляются в общей коор­динатной системе. По ним строится общая вольтамперная харак­теристика I (U) всей нелинейной электрической цепи (рис. 3.1), абсцисса каждой из точек которой при заданном токе I (заданной ординате) находится как сумма соответствующих падений напря­жения (U = U₁ + U₂) на этих сопротивлениях (R₁ и R₂), поскольку при последовательном соединении по сопротивлениям протекает один и тот же ток I цепи. Таким образом, по общей вольтамперной характеристике I(U) нелинейной цепи при заданном значении на­пряжения U и последовательном соединении сопротивлений легко определяют ток I в нелинейной цепи, а по заданному току I находят напряжение U, подводимое к нелинейной цепи, и нап­ряжения U₁ и U₂ на каждом из последовательно соединенных сопротивлений.

Рис. 3.1

При параллельном соединении нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений R₁ и R₂ также строят общую вольтамперную характеристику I(U) нелинейной электри­ческой цепи (рис. 3.2). При этом ординату каждой из точек об­щей вольтамперной характеристики при заданном подводимом к цепи напряжении U (заданной абсциссе) определяют как сумму токов в цепях соответствующих сопротивлений (I = I₁ + I₂), так как при параллельном соединении на всех сопротивлениях дейст­вует одно и то же напряжение U. Следовательно, при параллель­ном включении сопротивлений по общей вольтамперной характе­ристике I(U) и заданном значении напряжения U нетрудно опре­делить и ток I в нелинейной электрической цепи. При заданном общем токе I также легко определить и напряжение U, подводимое к данной нелинейной электрической цепи, и токи I₁ и I₂, протекаю­щие в цепи каждого из параллельно соединенных сопротивлений.

Рис. 3.2

Следует отметить, что изложенная методика расчета нелиней­ных электрических цепей при последовательном и параллельном соединении сопротивлений справедлива для любого числа сопро­тивлений, включенных в цепь последовательно или параллельно.

При расчете нелинейных электрических цепей со смешанным (последовательно-параллельным) со­единением нелинейных (или линей­ных и нелинейных) сопротивлений (рис. 3.3) строят вольтамперную характеристику I(U₁) параллельного участка цепи; при этом образуется нелинейная электрическая цепь с последовательным соединением со­противлений, для которой строится общая вольтамперная характерис­тика I(U) с учетом того, что под­водимое к цепи напряжение U при данном токе цепи I равно сумме напряжений на параллельном U₁ и на последовательном U₂ участках цепи (U = U₁ + U₂).

Рис. 3.3

Примеры решения задач

3.4. Нелинейные сопротивления R₁ и R₂, включенные после­довательно в электрическую цепь постоянного тока (рис. 3.4а), имеют вольтамперные характеристики I и II, приведенные на рисунке 3.4б. Определите ток I в цепи и напряжения U₁ и U₂ на этих сопротивлениях, если приложенное к цепи напряжение U = 60 В. В каких пределах изменится напряжение ∆U цепи при изменении тока I от I₁ = 25 мА до I₂ = =175 мА?

Р е ш е н и е. Строят общую вольтамперную характеристику III указанных двух последовательно соединенных нелинейных элементов (рис.3.4б) исходя из условия, что подводимое к цепи напряжение U при данном токе I нагрузки равно сумме напря­жений на сопротивлениях R₁ и R₂, т. е. U = U₁ + U₂.

а б

Рис. 3.4

а б

Рис. 3.5

Ток в цепи при напряжении U = 60 В согласно зависимости III определяется ординатой 0-5, соответствующей I₂ = 175 мА.

Напряжение на участках цепи находят из графических зави­симостей. При токе I₂ = 175 мА U₁ = 19 B (абсцисса 5-4), U₂ = 41 В (абсцисса 5-3). При токе I₁ = 25 мА напряжение, подводимое к цепи, U = 22 В. Следовательно, изменение под­водимого к цепи напряжения при изменении тока в заданных пределах согласно рисунку 3.4б составляет: ∆U = 66 – 22 = 38 В.

3.5. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 3.5а) при напряжении U = 30 В включены параллельно нелинейные со­противления R₁ и R₂, вольтамперные характеристики I и II которых представлены на рисунке 3.5б. Определить общий ток I в цепи, токи I₁ и I₂ в ветвях.

Р е ш е н и е. Общая вольтамперная характеристика IV (рис. 3.5б) при параллельном соединении нелинейных сопротив­лений построена сложением токов (ординат) зависимостей I и II при соответствующем напряжении. Ток нелинейного сопротивле­ния R₁ при заданном напряжении U = 30 В равен ординате 6-7: I₁ = 205 мА. Ток нелинейного сопротивления R₂ при том же напряжении U = 30 В равен ординате 6-8: I₂ = 100 мА. Общий ток в неразветвленной части цепи равен ординате 6-9: I = I₁ + I₂ = 205 + 100 = 305 мА.

Глава 4. Резистивные нелинейные элементы

4.1. Выпрямители

Выпрямители предназначены для преобразо­вания переменного напряжения в постоянное. В схему про­стейшего выпрямителя входят вентиль V, элект­рический фильтр Ф и сопротивление нагрузки R_н. B зави­симости от числа рабочих полупериодов напряжения питания и различают одно- и двухполупериодные схемы выпрямления, а в зависимости от числа фаз – однофазные, трехфазные и многофазные.

Рис. 4.1

В качестве вентилей в выпрямителях обычно применя­ют кремниевые или германиевые полупроводниковые диоды. Они имеют несимметричную вольтамперную характеристику (ВАХ).

Идеализированная ВАХ и условное изображение венти­ля показаны на рисунках.

4.2. Однополупериодное выпрямление

При положи­тельном мгновенном значении напряжения, т.е. когда и > 0

(проводящее направление), сопротивление вентиля мало, а ток теоретически (согласно идеализированной ВАХ) бес­конечно большой; при отрицательном напряжении, т.е. когда и < 0 (непроводящее направление), ток равен нулю.

Рис. 4.2

Схема замещения однополупериодного выпрямителя (без фильтра) с сопротивлением нагрузки R_н изображена на рисунке 4.3. Вентиль представлен в виде нелинейного сопротивления R_в, напряжение питания синусоидальное u= U_мsinωt.Вольтамперная характеристика цепи (кривая 3) построена в соответствии со вторым законом Кирхгофа, т.е. и = и_в + и_н, суммированием абсцисс ВАХ вентиля (кривая 1) и ВАХ линейного сопротивления на­грузки (прямая 2).

Рис. 4.3