Смешанное соединение 4 страница

Построим векторную диаграмму токов и треугольник мощностей, зная, что при подключении конденсатора активная мощность не изменится.

1. Определяем полную мощность, потребляемую катушкой:

S = UI_к; S = 8 · 450 = 3600 BА.

2. Определяем угол φ:

,

(cos φ = 0,55).

3. Определяем реактивную мощность, потребляемую катушкой:

Q = S · sinφ, Q = 3600 · sin 56⁰ = 2980 ВАр.

При резонансе токов мы полностью компенсируем эту реактивную мощность и потребляемый из сети ток уменьшится, что видно на векторной диаграмме.

4. Рассчитываем емкость конденсатора:

;

5. Потребляемый ток будет:

I = I_к cosφ;

I = 8 · 0,55 = 4,4 А.

Ток снижается практически в 2 раза, но для этого требуется большая емкость конденсаторов, поэтому на практике не стремятся достигнуть cosφ = 1, а удовлетворяются меньшими значениями, порядка 0,9. Это определяется экономическим обоснованием.

5.8. Определите символическим методом результирующий ток в цепи и потребляемые мощности. Параметры схемы: U = 200 B, r₁ = 2 Ом, r₂ = 6 Ом, r₃ = 16 Ом, x_L = 8 Ом, х_С = 12 Ом.

Р е ш е н и е. Изображаем сопротивление в комплексном виде и упрощаем схему так же, как делали на постоянном токе для смешанного соединения, заменяя параллельное соединение одним сопротивлением, а затем последовательное соединение тоже общим сопротивлением.

Имеем в общем виде:

;

;

;

;

.

1. Решаем в числах:

;

2. Определяем ток в цепи:

.

3. Определяем комплексную мощность:

;

.

Получаем S = 37,4 ВА, Р = 34,9 Вт, Q = 13,4 ВAр (индуктивное).

Глава 6. Трехфазный ток

Трехфазная система синусоидальных токов является основной в электроснабжении промышленности и сельского хозяйства.

Трехфазные генераторы вырабатывают симметричную систему ЭДС (напряжений), одинаковых по величине и сдвинутых во времени друг относительно друга на 120 электрических градуса. Это достигается смещением обмоток (фаз) генератора в пространстве на соответствующие углы.

Применяются две основные схемы соединения фаз генератора и трехфазных потребителей: в “звезду” и в “треугольник”.

При соединении в “звезду” (рис. 6.1) концы фаз генератора (потребителя) соединяются в одну точку, которая называется нейтралью генератора (потребителя). От начал фаз генератора идут провода к потребителю, они называются линейными. Провод, соединяющий нейтрали генератора и потребителя, называется нулевым или нейтральным.

Таким образом, образуется трехфазная четырехпроводная система, наиболее распространенная. В ней различают фазные напряжения (U_Ф) – это напряжения между началом фазы и нейтралью (U_A, U_B, U_C), линейные напряжения (U_л) – напряжения между линейными проводами (U_AB,U_BC,U_CA) (рис. 14). Они опережают фазные на 30⁰, а соотношение между ними равно:

.

Рис. 6.1

Ток в линейных проводах называется линейным (I_л), в фазах генератора и потребителя – фазным (I_фг,I_фп). Для соединения в звезду фазные и линейные токи равны.

В общем случае, если сопротивления фаз потребителя различны по величине и фазе, расчет ведется для каждой фазы в отдельности по закону Ома:

.

Ток в нейтральном проводе по первому закону Кирхгофа определяется векторной суммой фазных токов:

.

Мощности также рассчитываются для каждой фазы:

; ;

; ;

Если нагрузка симметричная (комплексные сопротивления равны по модулю и фазе), то расчет ведется для одной фазы, а мощности можно расcчитать по формулам:

;

Ток в нейтральном проводе в этом случае равен нулю.

Соединение в “треугольник” делается следующим образом (рис. 6.2) конец первой фазы соединяется с началом второй, конец второй – с началом третьей, конец третьей – с началом первой. От начала фаз генератора идут линейные провода. Так как ЭДС (напряжения) фаз генератора сдвинуты по фазе на 120⁰ и равны по модулю, то их векторная сумма равна нулю, и ток в фазах генератора будет определятся током потребителя.

Рис. 6.2

Как видно из схемы соединения, фазные напряжения в данном случае равны линейным:

.

Фазные токи (I_AB, I_BC, I_CA) определяются по закону Ома:

.

Линейные токи (I_A, I_B, I_C) определяются по первому закону Кирхгофа для узлов А, В, С, как векторная разность соответствующих фазных токов:

узел “A” при симметричном режиме;

узел “B” ; ;

узел “C” .

Потребляемая мощность находится суммированием мощностей фаз (как при “звезде”). При симметричной нагрузке формулы для мощности те же самые, что и для соединения в “звезду”.

При включении в трехфазную сеть нескольких потребителей (рис. 6.3) результирующие линейные токи находятся векторным сложением линейных токов потребителей, а мощность – суммированием активных и реактивных мощностей потребителей. Рассчитывается полная мощность по известной формуле: .

Рис. 6.3

Примем, что в соединении “звезда” нагрузка чисто активная и несимметричная, то есть r_A ¹ r_B ¹ r_C, а в “треугольнике” имеется активно-индуктивная симметричная нагрузка . Тогда фазные токи в “звезде” будут по величине различны, а по фазе совпадать со своими фазными напряжениями (U_A, U_B, U_C). Значение тока в нейтрали найдем векторным сложением фазных токов “звезды”. Фазные токи потребителя, соединенного в “треугольник”, отстают от соответствующих фазных напряжений (U_AB, U_BC, U_CA) на угол j.

Определив числовые значения фазных токов, линейные токи I_AD, I_BD, I_CD находим векторным построением, а затем так же векторно суммируем их с токами потребителя, соединенного в “звезду”, и находим результирующие линейные токи (рис. 6.4).

Рис. 18

В практических инженерных работах используется, как правило, символический метод.

Примеры решения задач

6.1. Определите ток в нейтральном проводе, если I_a =10 А, I_в =10 А, I_c = 6 А.

Рис. 6.1

Решение. Строим векторную диаграмму напряжений и токов. Так как сопротивления активные, то напряжения и токи совпадают по фазе и сдвинуты на 120⁰, а ток в нейтрале равен векторной сумме фазных токов: . Сначала складываем токи . При этом образуется равносторонний треугольник: токи I_a и I_в равны, а угол при вершине 60⁰, следовательно вектор , а угол между ним и током I_с равен 180⁰, т.е. эти векторы расположены на одной прямой и имеют противоположные направления. Поэтому I_N = 10 – 6 = 4 А (диаграмма 3).

Примечание. Если бы все токи были одинаковы, то I_N = 0 (симметричная нагрузка).

6.2. Определить ток в нейтральном проводе, если I_a = I_в = I_c = 10 А.

Рис. 6.2

Решение. Хотя фазные токи равны по модулю, но эта нагрузка не симметричная: в фазе «а» ток совпадает с напряжением, в фазе «в» отстает от него на 90⁰, а в фазе «с» опережает напряжение на 90⁰. С учетом этого строим векторную диаграмму и определяем ток в нейтральном проводе как векторную сумму фазных токов: .

Анализ построения показывает, что [ + ] находится в противофазе относительно I_a, т.е. сдвиг по фазе между ними равен 180⁰, и количественно в раз больше фазных токов (в треугольнике векторов , , [ + ] угол при вершине равен 120⁰) по теореме косинусов:

[ + ] = , [ + ] = · 10 = 17,3 А, а

I_N = 17,3 – 10 = 7,3 А.

Аналогичный результат получается при символическом изображении токов. Если комплекс тока I_a считать вещественным положительным числом: = I_ae ^jo, то .

6.3. Все амперметры кроме двух показывают одинаковую величину тока 10 А. Какие амперметры показывают другие значения тока и сколько?

Р е ш е н и е. Анализируем схему. Имеем трехфазную, четырехпроводную систему переменного тока. Все резисторы имеют одинаковое сопротивление r и все подключены на фазное напряжение (фаза – ноль). Напряжения одинаковы по модулю и сдвинуты друг относительно друга на 120⁰.

Начиная с конца схемы будем исключать амперметры, показания которых заведомо одинаковые. Во-первых, это амперметры в цепи каждого резистора, т.е. амперметры 5, 6, 7, 8. Кроме того, 12 и 2 включены последовательно с 5-м, а 4-й последовательно с 6-м, а 1-й последовательно с 7-м. Эти амперметры также покажут 10 А.

Через 3-й амперметр ток идет к двум резисторам, включенным параллельно. Значит, этот амперметр покажет 20 А. Теперь разберемся с амперметрами в нейтральном (нулевом) проводе.

Через 11-й амперметр проходят два тока: с фазы «С» и фазы «В». Эти токи сдвинуты по фазе на 120⁰. Складывая их векторы, получим также 10 А. Через 10-й амперметр проходят три тока от трех фаз. Векторная сумма одинаковых по модулю токов, сдвинутых по фазе на 120⁰, равна нулю, т.е. 10-й амперметр показывает ноль. Остается 9-й амперметр. Через него кроме трех предыдущих токов проходит еще ток 8-го амперметра. Значит, он покажет тоже 10 А.

Рис. 6.3

6.4. К трехфазной линии с линейным напряжением U_л под­ключены трехфазный симметричный приемник, соединенный по схеме «треугольник», и группа однофазных приемников, соединен­ных по схеме "звезда" с нейтральным проводом. Полное сопротив­ление фазы симметричного приемника задано в комплексной фор­ме: . Мощности, потребляемые однофазными приемни­ками, равны Р_А, Р_в, Р_С при соsφ = 1. Сопротивление нейтрального провода Z_N пренебрежимо мало.

Определить токи в фазах и в нейтральном проводе.

Дано: U_л = 220 В;

Z_ф = 11 ;

Р_А = 1200 Вт;

Р_В = 2400 Вт;

Р_С = 3600 Вт.

Решение. Находим токи у потребителей, соединенных в «звезду» (Y). Имея в виду, что фазное напряжение в раз меньше линейного: , фазные токи определим по формуле: .

Имеем

Так как в соединении «звезда» потребляется только активная мощность, то сопротивление считается идеальным активным, токи совпадают по фазе с напряжениями.

Ток в нейтральном проводе находим по первому закону Кирхгофа:

.

Сделав это построение в масштабе, находим:

I_N = 16 A.

Для треугольника U_л = U_ф, фазные токи находим по закону Ома , а линейные токи построением:

;

;

.

Так как нагрузка симметричная, а сопротивление имеет активно-индуктивный характер, фазные токи отстают от соответствующих напряжений на угол φ.

Находим фазные токи:

При симметричной нагрузке:

.

(это значение проверим построением векторов фазных токов и убедимся в его правильности). Показания амперметров находим векторным суммированием токов к потребителям:

.

Получаем: I_C = 60 A;

I_B = 50 A;

I_А = 45 A.

Конечно, точность расчета при графическом решении гораздо меньше, чем при решении символически методом.

Рис. 6.4

Глава 7. Механическая характеристика асинхронного двигателя

Построение механической характеристики асинхронных двигателей по паспортным и каталожным данным обычно осуществляется по приближенной формуле:

.

Эта формула дает достаточно точные результаты при изменении скольжения от нуля до критического значения. Но при достаточно больших скольжениях (0,5 и более) погрешность большая.

Поэтому построение рационально делать по следующим точкам:

1) S = 0, M = 0; 2) S = S_н, М = М_н; 3) S = S_кр, M = M_кр; затем задаться двумя значениями скольжения немного меньше и больше критического и рассчитать значения крутящего момента для них. И, наконец, при S = 1 имеем М = М_пуск.

Максимальный и пусковой моменты рассчитываются по их кратно­сти по отношению к номинальному моменту (М_пуск /М_н, M_кр /M_н), которые приводятся в каталожных данных. Номинальный момент опре­деляется по паспортным данным двигателя:

М_н = Р_н ∙ ω_н,

где Р_н – номинальная мощность;

ω_н = πп_н/30 – номинальная угловая частота вращения, с^-1;

п_н – номинальная частота вращения, об/мин.

По паспортным и каталожным данным двигателя можно оп­ределить не только его механическую характеристику, но и электри­ческие параметры, которые необходимо знать для выбора сечения проводов, пусковой и защитной аппаратуры:

1) потребляемую мощность Р₁:

,

где η_н – номинальный КПД двигателя;

2) потери мощности (∆Р):

∆Р = Р₁ – Р_н = ;

3) номинальный ток I_н:

;

4) пусковой ток I_пуск:

I_пуск = к_i ∙ I_н,

где к_i = I_пуск /I_н – кратность пускового тока (каталожные данные).

По общему виду механической характеристики можно отметить основные ее свойства.

На участке 1-2-4 (примерно до 0,8 М_кр) характеристика жесткая, т.е. при изменении нагрузки (момента) частота вращения снижается незначительно. Этот участок является рабочей частью характеристики. Работая на нем, двигатель может значительно перегружаться по моменту (по сравнению с номинальным). При этом надо иметь в виду, что момент двигателя пропорционален квадрату напряжения. При снижении напряжения сети на 10%, что допустимо нормами, его момент будет составлять (0,9)² расчетного момента, т.е. уменьшится почти на 20% и двигатель может «опрокинуться» при работе под нагрузкой или не запуститься при пуске из-за соответствующего снижения пускового момента.

Недостатком асинхронного короткозамкнутого двигателя является то, что пусковой ток в 5-7 раз превышает номинальный, что ухудшает условия пуска и работу защитных устройств, от коротких замыканий, т.к. приходится минимум в два раза завышать их ток срабатывания, чтобы избежать ложное срабатывание защиты при пуске двигателя.

Примеры решения задач

7.1.Трехфазный асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором питается от сети с линейным напряжением 380 В. Величины, характеризующие номинальный режим электродвигателя: мощность на валу P_2н; частота вращения ротора n_2н; коэффициент мощности cosj_1н; КПД h_н. Обмотки фаз статора соединены по схеме «звезда». Кратность критического момента относительно номинального

К_кр = М_кр /М_н.

Определить: а) номинальный и пусковой токи; б) номинальный, критический момент; в) пользуясь формулой критический и пусковой моменты:

;

Построить механическую характеристику двигателя.

ж) значения моментов, соответствующие значениям скольжения: S_н; S_k; 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0 (по формуле п. е.); з) пусковой момент при снижении напряжения в сети на 10 %. Построить механическую характеристику электродвигателя n = f(М).

Дано: Двигатель 4А112М2, Р_н = 7,5 кВт, η_н = 87,5, cosφ_н = 0,88, S_н = 2,5, S_кр=17.

, , .

1. Определим номинальный ток в фазе обмотки статора:

2. Число пар полюсов обмотки статора указано в обозначении типа двигателя и равно: 2р = 2, р = 1.

3. Номинальное и критическое скольжение (из таблицы): S_н = 0,025; S_kр=0,17.

4. Номинальный момент на валу:

;

п = п₁(1 – S_н),

где n₁ – частота вращения магнитного поля статора, определяемая по формуле:

где р – число пар полюсов (для нашего двигателя р = 1),

f – частота тока (50 Гц)

имеем

п_н = 3000(1 – 0,025) = 2925 об/мин.;

.

5. Максимальный (критический) момент:

;

М_кр = М_н · К_кр;

М_кр = 24,5 • 2,8 = 68,9 Н∙м.

6. Пусковой момент:

;

М_пуск = М_н · К_пуск, М_пуск = 24,5 · 2 = 49 Н∙м.

При снижении напряжения в сети на 10 % (при U = 0,9 ∙ U_н) имеем:

.

7. Построим механическую характеристику: S = φ(М).

8. ; М_кр = 68,6 Н∙м; S_н = 0,025; S_kр = 0,17; 2М_кр= 137,2 Н∙м.

Р е ш е н и е: