Решение типовых задач. Пример 2.1. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал l расположены оси одинаковых вертикальных цилиндров с радиусом основания г

Пример 2.1. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал l расположены оси одинаковых вертикальных цилиндров с радиусом основания г. Под углом q к прямой бросается шар радиуса R. Определить вероятность столкновения шара с цилиндром, если пересечение линии движения центра шара с прямой АВ равновозможное в любой точке.

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что произойдет столкновение шара с цилиндром. Пусть х — расстояние от центра шара до ближайшей линии, проходящей через центр цилиндра параллельно направлению перемещения центра шара. Возможные значения x определяются условиями (рис.1):

Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, если .

Искомая вероятность равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения x.

Поэтому

Пример 2.2. На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй — записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможные в любой точке от 0 до 180 м.

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи. Пусть x и у — координаты начала записей, причем . Так как , то областью возможных значений x и у является, треугольник с катетами по 180 м. Площадь этого треугольника .

Найдем область значений x и у, благоприятствующих указанному событию. Для того чтобы получилась непрерывная запись, необходимо выполнение неравенства . Чтобы интервал записи был не менее 25 м, должно быть . Кроме того, для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85м должно быть , .

Проведя границы указанных областей, получим, что благоприятствующие значения x и y заключены в треугольнике, площадь которого (рис. 2). Искомая вероятность равна отношению площади S_Б, попадание в которую благоприятствует данному событию, к площади области S возможных значений x и у, т. е. .

Пример 2.3. В любые моменты промежутка времени Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник будет забит.

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что приемник будет забит.

Пусть x и у — моменты поступления сигналов в приемник.

Областью возможных значений x, у является квадрат площадью T² (рис. 3). Приемник будет забит, если . Данная область лежит между прямыми и .

Ее площадь , поэтому .

Пример 2.4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше ?

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше . Пусть x и у — взятые числа. Их возможные значения , , что на плоскости соответствует квадрату с площадью S=1. Благоприятствующие значения удовлетворяют условиям: и .

Граница делит квадрат пополам, причем область представляет собой нижний треугольник (рис. 4).

Вторая граница является гиперболой. Абсциссы точек пересечения этих границ: и . Величина благоприятствующей площади . Искомая вероятность .