![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Программа курса лекций1. Введение. Цель курса. Метод Галилея. Цель курса - активизировать теоретические основы физики, полученные в школе, научить студента их использовать для решения конкретных задач. Вводится система понятий - “язык” физики и устанавливается между ними взаимосвязь, повторяются и вводятся необходимые понятия элементарной математики и анализа, дается общий метод решения физических задач. Задачи, предлагаемые на занятиях, охватывают основные разделы школьной программы, с расширением и детализацией основных положений, соответствуют программе первого курса ФЕН НГУ.
Метод Галилея (МГ) – совокупность и последовательное выполнение действий, приводящих к решению конкретной задачи, появлению научного результата. Модельный подход при взгляде на окружающий мир и его изучении. От модели физической - к модели математической - системе уравнений, далее к решению, и далее через анализ и сопоставление с экспериментальными данными - к модели физической. Наука (физика) – совокупность предмета (природа) и метода изучения (МГ). Ньютон – первый ученик и первый ученый. Физическая модель. Математическая модель. Опыт. Принцип физический. Аксиоматическое построение Науки. Принципы, постулаты и законы как результат обобщения опыта. Принцип относительности. Принцип Гюйгенса. Принцип эквивалентности. Принцип наименьшего действия. Тождественные преобразования. Теория против эксперимента. Как решать задачи. «Соображения симметрии». Требование инвариантности относительно сдвига и поворота в симметричном (однородном и изотропном) пространстве-времени. Освоение МГ - основная причина быстрого развития науки и техники и естествознания в целом за последние 4 века. Механика и наука физика «вообще» описывают, поясняют природу, мир до основных принципов, постулатов, законов. Почему мир таков, как он есть – вопрос к религии, к Создателю. Механика - наука о движении тел в пространстве и во времени и возникающих взаимодействиях между ними. Кинематика - часть механики, описывающая движение тел без выяснения причин. Задача-свечка в ускоряющейся электричке.
Основные понятия.
Материальная точка (частица)- тело, малое в данном рассмотрении, по сравнению с масштабами рассматриваемого движения, другими телами. Твердое тело – совокупность частиц с неизменными расстояниями между ними. Пространство-Время – категории, обозначающие основные формы существования материи. В современной теории П и В – связаны. Пространство – определяет порядок существования объектов. Время – определяет порядок смены явлений. По Ньютону П и В – абсолютны, не зависят друг от друга, находящихся в них тел и протекающих процессов. Пространство однородно (инвариантно по сдвигу) и изотропно (инвариантно по повороту). Время однородно. Система отсчета – твердое тело, система координат, часы. Числовая ось – прямая линия, на которой задано начало отсчета, единица масштаба и положительное направление. Обозначение: Координата точки на числовой оси – расстояние (со знаком) от начала отсчета до точки. Обозначение: Декартова система координат – совокупность трех (двух) взаимно перпендикулярных числовых осей Обозначение: Координата точки: Координату точки получаем, опуская перпендикуляры из точки на оси координат. Вектор – направленный отрезок. Имеет длину – модуль, и направление. Обозначение:
где Модуль, длина, вектора: Алгебра векторов – наука, которая занимается правилами преобразования векторов. Сложение (вычитание) векторов: Разложение, умножение на число, равенство векторов. Разложить любой вектор можно на произвольное количество векторов. Умножить вектор на число – умножить на это число все его проекции. Равными считаются вектора, которые при наложении совпадают. Нулевой вектор. Модуль такого равен нулю, направление не определено.
Пример – задача про четырех черепах (поворотная симметрия). Из одинаковости нач. условий и правил движения – одинаковые траектории.
Скалярное произведение векторов: Правая (левая) системы координат (тройка векторов) Если вектор Или: если смотреть из конца вектора Векторное произведение векторов:
Вектора Для
Радиус-вектор
Определяется тремя (одной, двумя) функциями. Р-в – вектор, идет из начала координат. Полярная система координат на плоскости – содержит заданную точку плоскости О – полюс, семейство концентрических окружностей с центром в точке О и семейство лучей, исходящих из точки О. Один из лучей называют полярной осью. Полярные координаты – расстояние до полюса (радиус Цилиндрическая и сферическая системы координат.
2. Функция
Функция – правило соотнесения значений независимой переменной (аргумента) и значений зависимой переменной (функции). Например, Примеры функций:
Функция задается аналитически, графически, таблично.
Приращение функции – разница
Временной интервал
Задача-свечка во вращающейся комнате. Производная функции – предел отношения приращения функции
Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции. Применение производной для исследования функции. Возрастание (убывание) функции, максимум (минимум) функции.
Функция возрастает, если производная положительна, убывает, если отрицательна. Если производная равна нулю, то функция принимает максимальное либо минимальное значение.
Пример – график скорости по графику пути (расстоянию) от точки наблюдения при движении по траектории.
Интегральная сумма – сумма произведений пронумерованных значений функции на соответствующие пронумерованные приращения аргумента. Значения функции выбираются в пределах соответствующего интервала изменения аргумента. Определенный интеграл от функции - предельное значение интегральной суммы: Здесь аргумент изменяется в пределах от Первообразная функция. Если существует такая дифференцируемая функция
то такая функция Неопределенный интеграл:
Здесь
Формула Ньютона-Лейбница:
где
3. Движение по траектории. Траектория частицы – кривая, по которой движется частица в пространстве/на плоскости. Путь – длина участка траектории, пройденного за рассматриваемый отрезок времени: Путь – сумма длин участков траектории:
Путь – интеграл от скорости по времени в пределах от Зеркальная симметрия. Задача об отражении в зеркале.
Перемещение – вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения частицы. Может быть равно нулю – тело вернулось в исходную точку.
Пример – перемещение за день, от кровати до кровати.
Скорость средняя (модуль) – полный путь на полное время.
Пример - пароход на реке. Скорость мгновенная:
Мгновенная скорость направлена вдоль вектора На траектории движения мгновенная скорость:
Ускорение: Ускорение - вектор. Направление - вдоль вектора
При Пример – скорость и ускорение на параболе – траектории движения в однородном поле тяжести. Угол – часть плоскости между двумя лучами, проведенными из одной точки. Мера угла – отношение длины
Если Скорость угловая: Из приведенных соотношений при постоянном радиусе следует:
или
Здесь - линейная скорость движения точки по окружности.
Пусть при движении по окружности (например, Земли вокруг Солнца) с угловой скоростью Ускорение угловое:
Уу – псевдовектор: вектора Ускорение тангенцальное (касательное к траектории движения) – проекция полного вектора ускорения на мгновенную скорость частицы. Ускорение центростремительное (нормальное к траектории движения) - проекция полного вектора ускорения на перпендикуляр к мгновенной скорости частицы. Радиус кривизны траектории – радиус наибольшей окружности, касательной траектории в данной точке движения.
Задача – форма поверхности жидкости в стакане. Почему в покое поверхность жидкости в стакане параллельна поверхности Земли? Скорость частицы в декартовых координатах.
Радиус-вектор частицы в момент времени t задается тремя (двумя, одной) функциями:
Производная от вектора.
Приращение радиус-вектора:
Скорость частицы – производная радиус-вектора:
В конечных разностях В пределе, при Модуль (величина) скорости:
Ускорение частицы в декартовых координатах.
Равномерное движение. В этом случае скорость не зависит от времени:
где Радиус-вектор частицы:
где
Направление вектора перемещения и вектора скорости совпадают. На координатной плоскости (в пространстве) частица двигается по прямой линии.
Задача- вектора скорости и ускорения на траектории движения.
4. Инвариантные и относительные величины. Преобразования Галилея.
Инвариантными характеристиками движения называются такие характеристики, которые сохраняются при переходе из одной системы отсчета в другую. Например, сохраняется временной интервал, длина отрезка, линейки, масса тела и т.д. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую инерциальную систему сохраняется величина ускорения тела. Относительными величинами называются такие величины, которые меняются при переходе из одной системы отсчета в другую. В кинематике это координаты тела, перемещение, скорость. Если хотя бы одна из систем отсчета является неинерциальной, то при переходе может меняться и ускорение тела.
Преобразования Галилея.
Пусть в лабораторной системе отсчета Соответственно, скорость частицы в этой системе отсчета ускорение Пусть относительно лабораторной системы В движущейся системе отсчета: радиус-вектор частицы скорость ускорение В ньютоновской механике предполагается, что время во всех системах отсчетах течет одинаково, время абсолютно: Тогда справедливы соотношения:
Если относительное ускорение движущейся системы отсчета равно нулю, т.е. Преобразования Галилея связывают координаты и время в одной инерциальной системе отсчета с координатами и временем в другой инерциальной системе отсчета:
5. Динамика. Законы Ньютона.
Основные понятия. Уравнения движения - соотношения, связывающие ускорение частицы с координатами и скоростями. Законы сохранения - соотношения, определяющие инвариантные (неизменные) величины при движении системы. Масса – характеристика внутреннего состояния частицы, определяющая ее энергию (E=mc2), «интенсивность» гравитационного взаимодействия с другими частицами (F=GmM/r2), «интенсивность» сопротивления изменению скорости (F=ma) - мера инерции. Инерция – способность тела сохранять состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения. «Тело двигается по инерции…». Импульс частицы Импульс вектор, как и скорость. Сила – мера взаимодействия тел. Принцип суперпозиции – суммарное действие независимых причин равно сумме действий этих причин. Замкнутая система – система, не подверженная действию внешних сил. Сила трения покоя и скольжения - силы, возникающие при скольжении тел. Приложены в точке взаимодействия тел и лежат в касательной плоскости. Направлены против вектора возможного смещения или скорости. Тяготение - свойство масс взаимодействовать на расстоянии. Одно из четырех фундаментальных взаимодействий (сильное, слабое, электромагнитное, гравитационное). Вес - сила действия тела на опору. Сила реакции – сила, возникающая при контактном взаимодействии тел. Приложена к телу в точке взаимодействия тел и направлена по нормали к касательной плоскости.
Законы Ньютона.
Первый закон Ньютона-закон инерции: Существуют системы отсчета, в которых тела, свободные от внешних воздействий, движутся прямолинейно и равномерно. Такие системы отсчета называют инерциальными. Или: если на тело не действует сила, тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения. Принцип относительности Галилея: Механические явления (законы) одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Инерциальные системы отсчета эквивалентны. Время абсолютно. Для полного совпадения необходима одинаковость начальных условий. Второй закон Ньютона: Такое уравнение называется также уравнением движения тела. Для системы тел:
Движение по параболе в однородном поле тяжести.
Поскольку
Поле тяжести направим по оси Y , т.е. оси координат расположим так, что
Пусть из пушки выстреливают снаряд со скоростью
Расположим пушку в начале координат. Еще одно условие на расположение пушки: «без ограничения общности» можно положить
Соответственно
Траектория движения снаряда в однородном поле лежит в одной плоскости Из последних уравнений находим явный вид зависимости координаты
Снаряд двигается по параболе. Максимальная высота полета В точке падения снаряда Время подъема до верхней точки
Вектора скорости и ускорения на траектории движения. Третий закон Ньютона.
Для двух взаимодействующих тел a,b:
Основные задачи. 1.Движение тела под действием силы. 2.Движение связанных тел. Натяжение невесомой нерастяжимой веревки. 3.Натяжение веревки, имеющей погонную плотность. 4.Блоки 5.Тело на наклонной плоскости. 6.Дорога движет автомобиль.
Закон всемирного тяготения (Ньютон, 1665 г.). Сила действия на частицу массы
Поле тяжести.
Напряженность гравитационного поля, поле тяжести, создаваемое телом массы Вблизи Земли поле тяжести близко к однородному полю, при этом ускорение свободного падения Задача о поле внутри однородного шара, сферы. Степень однородности гравитационного поля Земли.
6. Работа. Энергия. Закон сохранения механической энергии.
Механическая работа. Элемент работы В конечных разностях В общем случае для произвольного вектора Поэтому где Силу, действующую на тело, можно разложить на две составляющие – проекции: параллельную и перпендикулярную перемещению
Т.е. справедлива теорема о кинетической энергии: работа силы равна изменению кинетической энергии тела.
Работа консервативной силы на криволинейной траектории. Консервативной называется сила (соответственно, консервативным называется порождающее ее силовое поле), работа
Функция
Работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю: Справедливо и обратное утверждение: если работа силы по замкнутому контуру равна нулю, то такая сила (поле) является консервативной, т.е. работа силы не зависит от формы траектории.
Однородным называется поле, сила действия которого не зависит от координат. Близким к однородному полю является поле тяжести вблизи Земли. Вблизи Земли на тело массы
Потенциальная энергия в однородном поле тяжести.
Поле тяжести Элемент работы в декартовых координатах При перемещении их точи А в точку Б совершается работа Выберем систему координат
Для однородного поля тяжести можно ввести функцию
Функцию Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии тела:
«Без ограничения общности» можно положить
Однородное поле тяжести является консервативным полем, поскольку
Закон сохранения механической энергии тела.
Пусть тело находится в некотором силовом поле, например, поле тяжести, и приводится в движение этим полем (сила
Или Обозначим
В этих обозначениях работа силы тяжести Окончательно:
Работа силы равна изменению полной - потенциальной и кинетической энергии тела - теорема о полной механической энергии тела. При
Т.о., выполняется закон сохранения механической энергии: если тело находится в поле тяжести, а другая сила (кроме силы тяжести), действующая на тело, равна нулю, полная механическая энергия тела сохраняется.
7. Закон сохранения импульса.
Импульс силы. Импульсом силы называют величину Второй закон Ньютона в конечных разностях
Импульс действующей на тело силы, равен изменению импульса тела. Если Выполняется закон сохранения импульса: Если на тело не действует сила, его импульс сохраняется. Рассмотрим систему взаимодействующих тел (силы взаимодействия
Складывая левые и правые части системы уравнений получим:
Поскольку суммирование идет по одним и тем же частицам,
Сумма изменения импульсов частиц равна изменению импульса системы:
По третьему ЗН
В результате выполняется соотношение:
суммарный импульс силы внешних по отношению к системе сил равен изменению импульса системы. Если сумма внешних сил равна нулю, т.е. если
Для замкнутой системы справедлив закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел сохраняется. Система центра инерции. Рассмотрим систему движущихся частиц с массами
Соответственно,
Можно выбрать систему отсчета, в которой полный импульс частиц равен нулю,
Количество таких систем отсчета бесконечно. Одна из движущихся со скоростью
называется системой центра инерции тел. Скорость движения системы ЦИ в лабораторной системе определяется как полная производная от выражения для радиуса – вектора ее начала: В системе ЦИ полный импульс системы тел равен нулю, Подставляя в выражение для радиуса-вектора Точку, относительно которой выполняется приведенное соотношение, еще называют центром масс. Например, центр масс двух частиц с массами Может оказаться, что центр масс находится вне тела. Так, центр масс колеса находится на его оси.
Столкновение частиц.
Упругим называется столкновение частиц, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. При этом сохраняется полный импульс частиц и суммарная кинетическая энергия. Рассмотрим столкновение двух частиц. В системе ЦИ такой процесс выглядит наиболее просто. Полный импульс равен нулю, поэтому до и после столкновения импульсы частиц равны по величине и противоположны по направлению. По закону сохранения энергии остаются неизменными и абсолютные значения импульсов. Массы частиц при ударе также не меняются. Поэтому при упругом столкновении двух частиц происходит поворот их скоростей, остающихся неизменными и противонаправленными. В лабораторной системе отсчета упругое столкновение двух частиц также определяется законами сохранения. Пусть одна из частиц до удара покоилась. Для импульса и энергии частиц можно записать.
Возведя первое уравнение в квадрат, получим: Для частиц одинаковой массы из приведенных соотношений получаем Скалярное произведение векторов скоростей равно нулю, поэтому в лабораторной системе отсчета возможны два варианта. В первом случае после столкновения обе скорости отличны от нуля и частицы разлетаются под прямым углом. Во втором случае первая частица останавливается, Центральным называется столкновение (удар), при котором импульсы частиц до и после столкновения лежат на одной прямой. В системе ЦИ при упругом центральном ударе двух частиц их скорости меняют знак, оставаясь на той же прямой и неизменными по величине. Неупругим называется удар, при котором часть энергии переходит во внутреннюю энергию тел. Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что при столкновении двух тел образуется одно тело с общей массой. В системе ЦИ скорость этого тела равна нулю, вся кинетическая энергия тел в результате столкновения переходит во внутреннюю энергию образовавшегося тела.
8. Закон Гука. Гармонические колебания.
Силы упругости – силы, возникающие при удлинении пружины, стержня. Сила упругости пропорциональна удлинению и направлена в сторону, противоположную направлению удлинения тела (закон Гука – 1676 г.):
Для стержня
Для стали Рассмотрим движение тела массы
Соответствующее уравнение движения тела, прикрепленного к пружине, будет иметь вид:
или где введено обозначение
Данное дифференциальное уравнение второго порядка описывает гармонические колебания тела около положения равновесия. Решение уравнения имеет вид:
Периодом колебаний называют величину Величину называют частотой колебаний. Фактически Для простоты далее положим Дифференцируя координату по времени, получим скорость тела
и ускорение
Величины
- соответственно максимальные скорость и ускорение тела в процессе колебаний. Из приведенных уравнений видно, что скорость колеблющегося тела «опережает» по фазе координату на угол
9. Движение по окружности. Твердое тело.
Нормальное ускорение – проекция полного ускорения на нормаль к траектории движения тела. Тангенциальное или касательное ускорение тела – проекция полного ускорения на направление касательной к траектории движения тела. Центростремительное ускорение – ускорение, возникающее при движении тела по окружности. Направлено к центру окружности, по которой движется тело. Угол – часть плоскости между двумя лучами, проведенными из одной точки. Мера угла – отношение длины
Если Из приведенного соотношения при постоянном радиусе следует:
или
Здесь - линейная скорость движения точки по окружности; - угловая скорость. При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью вектор скорости поворачивается, т.е. скорость, вообще говоря, переменна. Вектор скорости и аналогично
Вектор и центростремительного ускорения получим: Эквивалентные выражения: При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью тело двигается с постоянным по модулю ускорением, направленным к центру вращения. Соответственно, движение по окружности тела массы Эта сила направлена к центру вращения, потому ее называют центростремительной силой. Роль центростремительной силы может выполнять сила трения при движении автомобиля на повороте дороги, сила натяжения веревки при вращении привязанного тела, например камня, сила тяжести.
Спутник на орбите.
Примером движения тела под действием центростремительной силы является движение космического корабля по круговой орбите вокруг Земли. В этом случае роль центростремительной силы выполняет сила притяжения корабля к Земле. По второму закону Ньютона: Вблизи Земли В соответствии с этим первая космическая скорость
Подставляя значения |
Дата добавления: 2014-10-31; просмотров: 219; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |