Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Вычисление двойного интеграла




Читайте также:
  1. II 6.2. Вычисление
  2. Возникновение двойного электрического слоя и его строение.
  3. Вопрос 5. Не вычисляя интеграл оценить границы его возможного значения, используя теорему об оценке определенного интеграла.
  4. Вычисление высоты по результатам спутниковых измерений
  5. Вычисление длины дуги кривой
  6. Вычисление координат по кодовым измерениям
  7. Вычисление координат по кодовым измерениям. Псевдодальность.
  8. Вычисление коэффициентов ассоциации и контингенции 1 страница
  9. Вычисление коэффициентов ассоциации и контингенции 2 страница

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

 

y y = y(x)

 
 

 


D

 

y = j(x)

 

a b x Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2.

y

 

0 Δ 2 x

 

=

=

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

y

 
 


y = x 2

D

 

0 x

 

Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

=

=

Пример. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

 

 

1.

 

2.

 

3.

 

 

Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j1(x) до j2(х).

Положим х = f(u, v); y = j(u, v)

Тогда dx = ; dy = ;

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

, т.е.

подставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

 

Выражение называется определителем Якобиили Якобианомфункций f(u, v) и j(u, v).

Тогда

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

 

Двойной интеграл в полярных координатах

Воспользуемся формулой замены переменных:

При этом известно, что

В этом случае Якобиан имеет вид:

Тогда

Здесь t - новая область значений,

 


Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 16; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты