Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке, может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y² = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

3) Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

z

z = f(x, y)

x₁ y₁ x₂

x

y₂

V =

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x² + y² = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x₁ = -1; x₂ = 1;

4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох:

- относительно оси Оу:

- относительно начала координат: - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).

7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z₁ и z₂ – функции от х и у или постоянные, у₁ и у₂ – функции от х или постоянные, х₁ и х₂ – постоянные.

8) Координаты центра тяжести тела.

9) Моменты инерции тела относительно осей координат.

10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

11) Момент инерции тела относительно начала координат.

В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

- в декартовых координатах: dv = dxdydz;

- в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

- в сферических координатах: dv = r²sinjdrdjdq.

12) Вычисление массы неоднородного тела.

Теперь плотность w – величина переменная.