Контрольная работа №1 3 страница

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = -6 / (1- i ). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 15

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; -1; 3), c (3; -1; 4), d (5; 1; 6) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (2; 4; 3), A₂ (4; 6; 6), A₃ (4; 2; 0), A₄ (1; 2; 6).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А_2; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Дана вершина треугольника А (3; 9) и уравнения медиан: y – 6 = 0; 3x – 4y + 9 = 0. Найти координаты двух вершин. Сделать чертеж.

Задание 5.

Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки F (0; 2) и прямой y = 4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 3 / ( +i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 16

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (5; 2; 1), b (8; -3; 2), c (-1; 2; 3), d (7; 9; 1) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (5; -1; 3), A₂ (8; 8; -3), A₃ (2; 0; 2), A₄ (4; 1; 0).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны стороны треугольника: x – y + 2 = 0 (AB), x = 2 (BC), x + y – 2 = 0 (AC). Составить уравнение прямо, проходящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую ее (считая от вершины А) в отношении 1:3. Сделать чертеж.

Задание 5.

Найти уравнение множества точек, равноотстоящих от окружности x² + 4x + y² = 0 и от точки М (2; 0).

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 3 / ( - I). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 17

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 2; 3), b (-2; 3; -2), c (3; -4; -5), d (6; 20; 6) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄: A₁ (6; 1; 1), A₂ (4; 6; 6), A₃ (4; 2; 0), A₄ (1; 2; 6).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-1; 1) так чтобы середина ее отрезка между прямыми x + 2y – 1 = 0 и x + 2y – 3 = 0 лежала на прямой x – y – 1 = 0. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение множества точек, расстояния которых от точки А (0; 1) в два раза меньше расстояния до прямой у – 4 = 0.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 6 / ( +i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 18

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (4; 2; 5), b (-3; 5; 6), c (2; -3; -2), d (8; 11; 13) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (3; 3; 4), A₂ (6; 9; 1), A₃ (1; 7; 3), A₄ (8; 5; 8).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ 3x + 2y = 12, уравнение высоты ВМ x +2y = 4, уравнение высоты АМ 4x + y = 6, где М – точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ. Сделать чертеж.

Задание 5.

Дана окружность x² + y² =4. Из точки А (-2; 0) проведена хорда АВ, которая продолжена на расстояние |ВМ| = |АВ|. Найти множество точек М.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = -6 / ( +i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 19

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 3; 2), b (-2; 3; -2), c (3; -4; -5), d (6; 20; 6) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (7; 2; 2), A₂ (5; 7; 7), A₃ (5; 3; 1), A₄ (2; 3; 7).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = x – 2 и 5у = x + 6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния от точки F (2; 0) к расстоянию до прямой x = 3 равно . Сделать чертеж.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = -1 / (i+ ). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 20

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 3; 2), b (3; -1; 5), c (-6; 5; -3), d (12; -10; 6) внекотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (1; 8; 2), A₂ (5; 2; 6), A₃ (5; 7; 4), A₄ (4; 10; 9).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А (0; 2) и уравнения высот ВМ x + y = 4 и СМ y = 2x, М – точка пересечения высот. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до начала координат и до точки А (0; 5) относятся как 3:2. Сделать чертеж.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = / (1-i ). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 21

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a(3,-2,1), b(-1,1,-2), c(2,1,-3), и d(11,-6,5).в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄: