Контрольная работа № 2 1 страница

«Дифференцирование»

(2-ой семестр)

Вариант 1

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = x / (x²-1); б) x = cos (t / 2); y = t – sin t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,49, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=x³-12x+7; [0;3].

Задание 5.

Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б)

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + xy + y² ; A (1; 2); B (1,02; 1,96).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = x² + xy + y² ; A (1; 1); a (2; -1).

Вариант 2

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д) .

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = ln ctg2x; б) x = t³ + 8t; y = t⁵ +2t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,33, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 5.

Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

б) .

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 3x² - xy + x + y; A (1; 3); B (1,06; 1,92).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = 2x² + 3xy + y²; A (2; 1); a (3; -4).

Вариант 3

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г) ;

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = x³ ln x; б) x = t – sin t; y = 1 – cos t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,75, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 5.

Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2в. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + 3xy + 6y; A (4; 1); B (3,96; 1,03).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = ln (5x² + 3y²); A (1; 1); a (3; 2).

Вариант 4

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г) ;

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = x arctg x; б) x = e^{2 t}; y = cos t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,63, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 5.

Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² – y² +6x + 3y; A (2; 3); B (2,02; 2,97).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = ln (5x² + 4y²); A (1; 1); a (2; -1).

Вариант 5

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = arctg x; б) x = 3cos² t; y = 2 sin³ t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,21, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 5.

Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + 2xy + 3y²; A (2; 1); B (1,96; 1,04).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = 5x² + 6xy; A (2; 1); a (1; 2).

Вариант 6

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = e^ctg3x; б) x = 3 cos t ; y = 4 sin² t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при a=0,55, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 5.

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости, будет иметь наименьшую полную поверхность?

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + y² + 2x + y – 1; A (2; 4); B (1,98; 3,91).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = arctg (xy²); A (2; 3); a (4; -3).

Вариант 7

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г) ;

д) .

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = e^x cos x; б) x = 3 t – t³; y = 3 t³.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,37, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 5.

Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б).

Задание 7.

Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t₀.

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 3x² + 2y² + xy; A (-1; 3); B (-0,98; 2,97).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = arсsin (x² / y); A (1; 2); a (5; -12).

Вариант 8

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = e^-x sin x; б) x = 2t – t³; y = 2t².

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,83, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].