Контрольная работа №1 1 страница

«Аналитическая геометрия и линейная алгебра»

(1-ый семестр)

Вариант 1

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы а(1; 2; 3), b(-1; 3; 2), c (7; -3; 5) и d(6; 10; 17) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (4; 2; 5), A₂ (0; 7; 2), A₃ (0; 2; 7), A₄ (1; 5; 0).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂;7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y – 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P(-1;0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А (5; 0) относятся как 2:1.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = / (1+i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 2

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы а(4; 7; 8),b (9; 1; 3),c(2; -4; 1) и d(1; -13; -13) в некотором базисе.Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁(4; 4; 10),A₂(4;10; 2), A₃ (2; 8; 4), A₄ (9; 6; 4).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны уравнения одной из сторон ромба x – 3y + 10 = 0 и одной его диагоналей x + 4y – 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке P(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (-1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x = -4.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 4 / (1+i ). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 3

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы а(8; 2; 3), b(4; 6; 10), c (3; -2; 1) и d (7; 4; 11) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (4; 6; 5), A₂ (6; 9; 4), A₃ (2; 10; 10), A₄ (7; 5; 9).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 2 = 0 и x + y - 4 = 0, а уравнение одной из диагоналей x – 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (2; 0) и от прямой 5x + 8 = 0 относятся как 5:4.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = -2 / (1-i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 4

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a(10; 3; 1), b(1; 4; 2), c(3; 9; 2) и d (19; 30; 7) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (3; 5; 4), A₂ (8; 7; 4), A₃ (5; 10; 4), A₄ (4; 7; 8).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны две вершины А (-3; 3) и В (5; -1) и точка D (4; 3) пересечения высот треугольника. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А (4; 0), чем от точки В (1; 0).

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = -4 / (1-i ). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 5

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a(2; 4; 1), b(1; 3; 6), c(5; 3; 1) и d(24; 20; 6) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ : A₁(10; 6; 6), A₂(-2; 8; -2), A₃ (6; 8; 9), A₄ (7; 10; 3).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А_2;7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны вершины А (-3; -2), В (4; -1), С (1; 3). Трапеция АВСD (AD || BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (2; 0) и от прямой 2x + 5 = 0 относятся, как 4:5.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = -2 / (1+i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 6

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a(1; 7; 3), b(3; 4; 2), c(4; 8; 5) и d(7; 32; 14) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (1; 8; 2), A₂ (5; 2; 6), A₃ (5; 7; 4), A₄ (4; 10; 9).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны уравнения двух сторон треугольника 5x – 4y + 15 = 0 и 4x + y – 9 = 0. Его медианы пересекаются в точке P(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (3; 0) вдвое меньше расстояния от точки В (26; 0).

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 2 / (1-i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 7

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a(1; -2; 3), b(4; 7; 2), c(6; 4; 2) и d(14; 18; 6)в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄: A₁ (6; 6; 5), A₂ (4; 9; 5), A₃ (4; 6; 11), A₄ (6; 9; 3).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны две вершины А (2; -2) и В (3;-1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А (0; 2) и от прямо y – 4 = 0.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.