Контрольная работа №1 2 страница

Дано комплексное число z = 4 / (1-i ). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 8

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 4; 3), b (6; 8; 5), c (3; 1; 4), d (21; 18; 33)в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (7; 2; 2), A₂ (5; 7; 7), A₃ (5; 3; 1), A₄ (2; 3; 7).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны уравнения двух высот треугольника x + y = 4 и y = 2x и одна из его вершин А (0; 2). Составить уравнения треугольника. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности x² + y² = 4x.

Замечание. Напомним, что расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = -4 / ( - i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 9

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (2; 7; 3), b (3; 1; 8), c (2; -7; 4) и d (16; 14; 27)в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (8; 6; 4),A₂ (10;5;5), A₃ (5; 6; 8), A₄ (8; 10; 7).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны уравнения двух медиан треугольника x – 2y + 1 = 0 и y – 1 = 0 и одна из его вершин А (1; 3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А (2; 6) и от прямой y + 2 = 0.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 1 / ( + i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 10

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (7; 2; 1), b (4; 3; 5), c (3; 4; -2) и d (2; -5; -13) внекотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (7; 7; 3), A₂ (6; 5; 8), A₃ (3; 5; 8), A₄ (8; 4; 1).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x – 2y – 8 = 0 и 3x – 2y – 8 = 0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А (-4; 0) втрое дальше, чем от начала координат.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 1 / ( - i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 11

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 3; 2), b (3; 2; 5), c (-6; 5; -3), d (12; -10; 6) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (3; 5; 4), A₂ (5; 8; 3), A₃ (1; 9; 9), A₄ (6; 4; 8).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂

7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны середины сторон треугольника: А₁ (-1; -1), В₁ (1; 9), С₁ (9; 1). Составить уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой вдвое ближе к точке F (-1; 0), чем к прямой x = -4.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 3 / (1- *i). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 12

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (5; 1; 4), b (-1; 2; 3), c (-1; 3; 2), d (0; 14; 16)в некотором базисе.Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (2; 4; 3), A₂ (7; 6; 3), A₃ (4; 9; 3), A₄ (3; 6; 7).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны вершины треугольника: А (1; 1), В (4; 5), С (13; -4). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В, и высоты, опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой вдвое ближе к прямой x = 1, чем к точке F (4; 0).

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = 6 / (1- i ).Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 13

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 2; 3), b (2; -3; 1), c (-1; 2; 1), d (2; 2; 8)в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (6; 6; 2), A₂ (5; 4; 7), A₃ (2; 4; 7), A₄ (7; 3; 0).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны стороны треугольника: x – y = 0 (АВ), x + y – 2 = 0 (АС). Составить уравнения медианы, проходящей через вершину В и высоты, проходящей через вершину А. Сделать чертеж.

Задание 5.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой вдвое дальше от точки F (-8; 0), чем от прямой x = -2.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.

Задание 8.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

А =

Задание 9.

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	в)
б)	г)

Задание 10.

Дано комплексное число z = / (1+i ). Требуется 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z =0.

Вариант 14

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (2; 7; 7), b (-4; 3; 9), c (9; -6; -9), d (28; -1; 5) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора dв этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (0; 7; 1), A₂ (4; 1; 5), A₃ (4; 6; 3), A₄ (3; 9; 8).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Даны последовательные вершины параллелограмма: А (0; 0), В (1; 3), С (7; 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что этот параллелограмм является прямоугольником. Сделать чертеж.

Задание 5.

Написать уравнение множества точек, равноудаленных от начала координат и от прямой x = -4. Найти точки пересечения этой линии с осями координат и построить ее.

Задание 6.

Линия задана уравнением в полярной системе координат

Требуется:1)построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2)найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3)по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Задание 7.

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x^//₁, x^//₂, x^//₃ через x₁, x₂, x₃.