Примеры решения задач. Пример 1. Определить молярную массу М смеси кислорода массой г и азота массой г.

Пример 1. Определить молярную массу М смеси кислорода массой г и азота массой г.

Решение. Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси m к количеству вещества смеси :

. (1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:

.

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:

.

Подставив в формулу (1) выражения и , получим

. (2)

Найдем молярные массы кислорода и азота :

кг/моль; кг/моль.

Подставим значения величин в (2) и произведем вычисления:

кг/моль =

= кг/моль.

Пример 2. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой г.

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

. (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

. (2)

Число всех молекул газа

, (3)

где – постоянная Авогадро; – количество вещества.

Если учесть, что количество вещества , где m – масса газа; М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид

.

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода кг/моль:

Дж Дж;

Дж Дж.

Пример 3.Вычислить удельные теплоемкости и смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют и . Значения удельных теплоемкостей газов взять из справочника.

Решение. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на , выразим двумя способами:

, (1)

, (2)

где – удельная теплоемкость неона; – удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на , получим . Отсюда

,

или

,

где и .

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

.

Произведем вычисления:

=

;

=

.

Пример 4. Кислород массой кг занимает объем

и находится под давлением МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема м³, а затем при постоянном объеме до давления МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

, (1)

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i=5); – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона , откуда

.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы A:

.

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода

кг/моль:

K =

= 385 K;

K =

= 1155 K;

K =

= 2887 K;

Дж Дж МДж;

Дж = 3,24 МДж

МДж МДж.

Пример 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой кг при температуре К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

, или ,

где – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; .

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

.

Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

,

где – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

, или ,

где .

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа , и кг/моль:

К К.

Так как (находится логарифмированием), то

К К;

Дж кДж;

Дж кДж.

Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.

График процесса приведен на рис. 5.

Пример 6. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика К. Определить термический КПД цикла и температуру теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

.

где – теплота, полученная от теплоотдатчика; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле определить температуру охладителя :

.

Произведем вычисления:

; К К.

Пример 7. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

,

где r – радиус пузыря. Так как , то

.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на , выражается формулой

, или .

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая , получаем

.

Произведем вычисления:

Па Па;

Дж Дж мДж.

Таблица вариантов для задания № 3

201. Определить количество вещества n и число N молекул кислорода массой m=0,5 кг.

202. Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством вещества n=0,2 моль; 2) массой m = 1 г?

203. Вода при температуре t=4°С занимает объем V = 1 см³. Определить количество вещества n и число N молекул воды.

204. Найти молярную массу М и массу от„ одной молекулы поваренной соли.

205. Определить массу т_м одной молекулы углекислого газа.

206. Определить концентрацию п молекул кислорода, находящегося в сосуде вместимостью V=2л. Количество вещества n кислорода равно 0,2 моль.

207. Определить количество вещества n водорода, заполняющего сосуд объемом V=3 л,если концентрациямолекул газа в сосуде n=2×10¹⁸ м^-3.

208. В баллоне вместимостью V=3л содержится кислород массой т=10 г. Определить концентрацию п молекул газа.

209. Определить относительную молекулярную массу M_r: 1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.

210. Определить количество вещества n и число N молекул азота массой m=0,2кг.

211.В цилиндр длиной l=1,6м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении р₀ , начали медленно вдвигать поршень площадью основания S= 200 см². Определить силу F, действующую на поршень, если его остановить на расстоянии l₁=10см от дна цилиндра.

212.В баллоне находится газ при температуре Т₁=400 К. До какой температуры T₂ надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

213. Баллон вместимостью V=20л заполнен азотом при температуре T=400K. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на Dr=200кПа. Определить массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.

214. В баллоне вместимостью V=15л находится аргон под давлением р₁=600кПа и при температуре T₁ = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р₂=400кПа, а температура установилась T₂=260K. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

215. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р₁=2МПа и температуре T₁=800К, в другом р₂=2,5МПа, T₂=200К. Сосуд соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры T=200К. Определить установившееся в сосудах давление р.

216. Вычислить плотность r азота, находящегося в баллоне под давлением р=2МПа и имеющего темпера­туру T=400 К.

217. Определить относительную молекулярную массу M_r газа, если при температуре T=154К и давлении р=2,8МПа он имеет плотность r=6,1 кг/м³.

218. Найти плотность r азота при температуре T=400 К и давлении р=2 МПа.

219. В сосуде вместимостью V=40 л находится кислород при температуре T=300К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилосьна Dр=100кПа. Определить массу m израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.

220. Определить плотность r водяного пара, находящегося под давлением р=2,5кПа и имеющего темпера­туру T=250 К.

221. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию e молекулы этого газа при температуре T=300К, если количество вещества n этого газа равно 0,5 моль.

222. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде вместимостью V=3л под давлением р=540 кПа.

223. Количество вещества гелия n=1,5 моль, температура Т = 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул этого газа.

224. Молярная внутренняя энергия U_m некоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию e_вр вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.

225. Определить среднюю кинетическую энергию e одной молекулы водяного пара при температуре T=500 К.

226. Определить среднюю квадратичную скорость u_кв молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V=2л под давлением р=200кПа. Масса газа m=0,3 г.

227. Водород находится при температуре T=300К. Найти среднюю кинетическую энергию e_вр вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию Е_k всех молекул этого газа; количество водорода n=0,5 моль.

228. При какой температуре средняя кинетическая энергия e_п поступательного движения молекулы газа равна 4,14×10^-21 Дж?

229. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 6×10^-10 г. Газ находится при температуре T=400 К. Определить средние квадратичные скорости u_кв, а также средние кинетические энергии e_п поступательного движения молекулы азота и пылинки.

230. Определить среднюю кинетическую энергию e_п поступательного движения и e_вр вращательного движения молекулы азота при температуре T=1 кК. Определить также полную кинетическую энергию Ек молекулы при тех же условиях.

231. Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность c_p—c_v удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж/(кг×К).

232. Найти удельные c_p и c_v, а также молярные Ср и Сv теплоемкости углекислого газа.

233. Определить показатель адиабаты g идеального газа, который при температуре Т=350 К и давлении р=0,4МПа занимает объем V=300 л и имеет теплоемкость Cv=857 Дж/К.

234. В сосуде вместимостью V=6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость Сv этого газа при постоянном объеме.

235. Определить относительную молекулярную массу Mr и молярную массу М газа, если разность его удельных теплоемкостей c_p—c_v=2,08 кДж/(кг×К).

236. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости c_v ==10,4 кДж/(кг×К) и Ср= 14,6 кДж/(кг×К).

237. Найти удельные c_p и c_v и молярныеСv и Сртеплоемкости азота и гелия.

238. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса М=4×10^-3 кг/моль и отношение теплоемкостей Ср/Сv==1,67.

239. Трехатомный газ под давлением р=240кПа и температуре t=20°С занимает объем V=10л. Определить теплоемкость Сp этого газа при постоянном давлении.

240. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V=5л. Вычислить теплоемкость Сv этого газа при постоянном объеме.

241. Найти среднее число (z) столкновений за время t=1с и длину свободного пробега (l) молекулы гелия, если газ находится под давлением р=2кПа при темпе­ратуре T=200 К.

242. Определить среднюю длину свободного пробега (l) молекулы азота в сосуде вместимостью V=5л. Масса газа m=0,5 г.

243. Водород находится под давлением р=20мкПа и имеет температуру T=300 К. Определить среднюю длину свободного пробега (l) молекулы такого газа.

244. При нормальных условиях длина свободного пробега (l) молекулы водорода равна 0,160 мкм. Определить диаметр d молекулы водорода.

245. Какова средняя арифметическая скорость (u) молекул кислорода при нормальных условиях, если известно, что средняя длина свободного пробега (l) молекулы кислорода при этих условиях равна 100 нм?

246. Кислород находится под давлением р=133 нПа при температуре T=200К. Вычислить среднее число (z) столкновений молекулы кислорода при этих условиях за время t=1 с.

247. При каком давлении р средняя длина свободного пробега (l) молекул азота равна 1 м, если температура газа t=10°С?

248. В сосуде вместимостью V=5 л находится водо­род массой m=0,5 г. Определить среднюю длину свобод­ного пробега (l) молекулы водорода в этом сосуде.

249. Средняя длина свободного пробега (l) молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 мм. Найти плотность r водорода при этих условиях.

250. В сферической колбе вместимостью V=3л, содержащей азот, создан вакуум с давлением р=80 мкПа. Температура газа T=250 К. Можно ли считать вакуум в колбе высоким?

Примечание. Вакуум считается высоким, если длина свободного пробега молекул в нем много больше линейных размеров сосуда.

251. Определить количество теплоты Q, которое надо сообщить кислороду объемом V=50 л при его изохорном нагревании, чтобы давление газа повысилось на D=0,5 МПа.

252. При изотермическом расширении азота при температуре T=280 К объем его увеличился в два раза. Определить: 1) совершенную при расширении газа рабо­ту А; 2) изменение DU внутренней энергии; 3) количество теплоты Q, полученное газом. Масса азота m=0,2 кг.

253. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от р₁=50кПа до р₂=0,5МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление р₃ газа в конце процесса.

254. Кислород массой m=200г занимает объем V₁=100 л и находится под давлением р₁=200кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема V₂ =300 л, а затем его давление возросло до р₃==500кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии DU газа, совершенную газом работу A и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

255. Объем водорода при изотермическом расширении при температуре T=300К увеличился в n=3 раза. Определить работу А, совершенную газом, и теплоту Q, полученную при этом. Масса т водорода равна 200 г.

256. Азот массой m=0,1 кг был изобарно нагрет от температуры T₁=200 К до температуры T₂=400 К.Определить работу А, совершенную газом, полученнуюимтеплоту Q и изменение DU внутренней энергии азота.

257. Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества n=0,4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ получит количество теплоты Q=800Дж? Температура водорода Т=300 К.

258. Какая работа А совершается при изотермическом расширении водорода массой m=5г, взятого при температуре T=290К, если объем газа увеличивается в три раза?

259. Какая доля w₁ количества теплоты Q, подводимого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение DU внутренней энергии газа и какая доля w₂ — на работу А расширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.

260. Определить работу A, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q=21 кДж. Найти также изменение DU внутренней энергии газа.

261. Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах теплоприемника T₂=290К и теплоотдатчика T₁=400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия h цикла, если температура теплоотдатчика возрастет до T₁¢=600 К?

262. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т₁ теплоотдатчика в четыре раза (n=4) больше температуры теплоприемника. Какую долю w количества теплоты, полученного за один цикл от теплоотдатчика, газ отдаст теплоприемнику?

263. Определить работу А₂ изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого h=0,4, если работа изотермического расширения равна A₁=8Дж.

264. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику теплоту Q₂= 14 кДж. Определить температуру Т₁ теплоотдатчика, если при температуре теплоприемника T₂=280 К работа цикла A=6кДж.

265. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от теплоотдатчика теплоту Q₁=4,38кДж и совершил работу A=2,4кДж. Определить температуру теплоотдатчика, если температура теплоприемника T₂=273 К.

266. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику 67% теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру Т₂ теплоприемника, если температура теплоотдатчика T₁= 430 К.

267. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия h цикла Карно при повышении температуры теплоотдатчика от T₁=380 К до T₁¢=560 К? Температура теплоприемника T₂=280 К.

268. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т₁ = 500 К, температура теплоприемника T₂=250 К. Определить термически КПД h цикла, а также работу A₁ рабочего вещества при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа A₂=70 Дж.

269. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q₁=84кДж. Определить работу A газа, если температура Т₁ теплоотдатчика в три раза выше температуры Т₂ теплоприемника.

270. В цикле Карно газ получил от теплоотдатчика теплоту Q₁=500Дж и совершил работу A=100Дж. Температура теплоотдатчика T₁=400 К. Определить температуру Т₂ теплоприемника.

271. Найти массу m воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром канала d=0,8мм, опущенную в воду на малую глубину. Считать смачивание полным.

272. Какую работу A надо совершить при выдувании мыльного пузыря, чтобы увеличить его объем от V₁ = 8 см³ до V₂ = 16см³? Считать процесс изотермическим.

273. Какая энергия Е выделится при слиянии двух капель ртути диаметром d₁=0,8мм и d₂=1,2 мм в одну каплю?

274. Определить давление р внутри воздушного пузырька диаметром d=4мм, находящегося в воде у самой ее поверхности. Считать атмосферное давление нормальным.

275. Пространство между двумя стеклянными параллельными пластинками с площадью поверхности S=100 см² каждая, расположенными на расстоянии l=20мкм друг от друга, заполнено водой. Определить силу F, прижимающую пластинки друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками.

276. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром канала d=1мм на высоту h=20мм. Определить поверхностное натяжение a глицерина. Считать смачивание полным.

277. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром канала d=1 мм. Определить массу т воды, вошедшей в трубку.

278.На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления р₀, если диаметр пузыря d=5 мм?

279. Воздушный пузырек диаметром d=2,2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность r воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

280. Две капли ртути радиусом r = 1,2 мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергию Е, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.