Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Применение теоремы Гаусса к расчету электрических полей




Читайте также:
  1. I. Рубки лесных насаждений и их применение
  2. II. ХИМИЯ НЕОРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ, БИОЛОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ, ПРИМЕНЕНИЕ В ВЕТЕРИНАРИИ
  3. III. Перейдем к доказательству теоремы о промежуточном значении
  4. IV. Применение переместительного закона умножения.
  5. А. Повторное применение лекарственных веществ
  6. Адреномиметические средства прямого действия. Классификация. Механизм действия. Фармакологическая характеристика отдельных препаратов. Применение.
  7. Алгоритм проверки диэлектрических перчаток
  8. Анализ опасности поражения электрическим током для различных схем электрических сетей
  9. Анализ режима периодических негармонических колебаний в в электрических цепях
  10. Асинхронные режимы в электрических системах.
Система зарядов Напряженность поля II потенциал
Точечный заряд Q E = Q/4πε0r2 φ =Q/4πε0r φ= 0
Равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью зарядов σ E = σ/2ε0
Две равномерно разноименно заряженные бесконечные плоскости, расположенные на расстоянии d 0 ≤ r ≤ d: E= 0 r < 0; r > d: E = σ/ε0
Равномерно заряженная сфера радиусом R 0 < r < R: E = 0 r = R: E = Q/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 0 < r ≤ R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно объемно заряженный шар, радиусом R 0 < r < R: E = Qr/4πε0R3 r = R: E = O/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 0 < r < R: r = R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно заряженный бесконечный цилиндр радиуса R (нить) с линейной плотностью заряда τ r < R: E = 0 r = R: E = τ/2πε0R; r > R: E = τ/2πε0r r < R: φ = τ/2ε0 r > R:

 

Пример 11.В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см (рис. 11). Объемная плотность зарядов постоянна и равна ρ = 2 мКл/м3. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 = 1,0 см и r2 = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Е(r).

 
 

Условие:

 

R = 2 см = 0,02 м;

r1 = 1,0 см =0,01 м;

r2= 2,0 см = 0,02 м;

Е1 - ? Е2 - ? Е(r) - ?

Решение. Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии - прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра радиальны. Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду.

Характер функциональной зависимости Е(г) для точек лежащих внутри и вне объемного заряда различен. Поэтому следует провести две вспомогательные поверхности S1 и S2 с радиусами r1 < R и r2 > R. Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде



(1)

Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся в заведомо разных условий относительно силовых линий поля, причем во всех точках торцов Е dS = π/2 и поток вектора напряженности сквозь торцевые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях S1,2 бок нормаль совпадает с направлением радиуса-вектора, поэтому EdS = ErdS и

ErdS. (2)

Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать Еr(г) постоянной величиной. Тогда

ErdS = Er2πrh, (3)

где r и h - радиус и высота вспомогательной поверхности.

Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (3), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.

При r < R Q = ρπr2h, (4)

где r – расстояние от оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности S1.

Подставляя выражение (3) в (1) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S1 правой частью равенства (4) получаем



E12πrh = ρπr2h/ε0,

откуда E1 = ρr/2ε0, (5)

Е1 = 1,1·103 В/м.

При r > R Q = ρπR2 h .

Подставляя (3) в (31) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S2 правой частью равенства (4) получаем

E22πrh = τπR2h/ε0.

Откуда E2 = ρR2/2ε0r. (6)

Е2 = 1,5·103 В/м.

Для построения графика Е(г) на оснований выражений (5) и (6) целесообразно рассчитать Еr при г = R: Е(R) = ρR/2ε0 = 2,3∙103 В/м.

Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва. Графическая зависимость Е(г) показана на рис. 11.


 

ТЕМА 9. ДИЭКТРИКИ, ПРОВОДНИКИ И КОНДЕНСАТОРЫ

 

9.1. Диэлектрики. Электрическое поле в диэлектриках

Электрический момент диполя: где – плечо диполя
Поляризованность: P = σ´, где V – объем диэлектрика; pi -дипольный момент i -й молекулы; n0 – концентрация молекул; σ´ - поверхностная плотность связанных зарядов.
Связь между поляризованностью и напряженностью электростатического поля: P = æε0E, где æ > 0 - диэлектрическая восприимчивость вещества
Связь между диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью вещества: ε = 1 + æ
  Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля: . Связь между векторами электростатического смещения, напряженностью и поляризованностью:
Элементарный поток вектора электрического смещения через площадку: D = = DdScos α = DndS, где –вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке; Dn –составляющая вектора по направлению нормали n к площадке
  Теорeмa Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: Фd = = DdScos α = DndS = , где - алгебраическая сумма Qi, заключенных внутри замкнутой поверхности свободных электрических зарядов. Интегрирование ведется по всей поверxности.

9. 2. Электроемкость проводникoв и конденсаторов



Электроемкость уединенного проводника: где Q–заряд, сообщенный проводнику, φ - потенциал проводника. Электроемкость проводника, помещенного в диэлектрик: C = εC0 Электроемкость шарового проводника: C = 4πε0εR где R–радиус шара; ε – диэлектрическая проницаемость среды
Электроемкость конденсатора: C = , где Q – заряд, сообщенный одной из обкладок; ∆φ - разность потенциалов между обкладками
Емкость плоского конденсатора: где S - площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами
Емкость цилиндрического конденсатора: , где l – длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы полых коаксиальных цилиндров
Емкость сферического конденсатора: где r1 и r2 - радиус концентрических сфер
  Емкость системы конденсаторов   последовательное соединение: 1/ C = 1/ Ci; параллельное соединение: C = Ci, где Ci - емкость i-го конденсатора, n - число конденсаторов в батарее.  

 

8.3 Энергия системы точечных электрических зарядов, заряженных проводников и конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Пондермоторные силы.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: Wn = Qiφi/2, где φi - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i–го
Энергия уединенного заряженного проводника: Wn = C2/2φ = Qφ/2 = Q2/2C, где Q– заряд ; C –электроемкость, φ –потенциал проводника
Энергия заряженного конденсатора: Wn = C2/2∆φ = Q∆φ/2 = Q2/2C, где ∆φ - разность потенциалов между обкладками
Энергия электростатического поля плоского конденсатора (однородное поле): , Где S– площадь одной из пластин; V = Sd - объем конденсатора
Объемная плотность энергии: w = ; w = εε0E2/2 = D2/2 εε0 = ED/2, где D - электрическое смещение
Энергия электрического поля Wn = w dV
Силы притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками плоского конденсатора (пондермоторные силы): F = Q2/(2 εε0S) = σ2S/(2 εε0 )= εε0E2S/2  

 

 

Пример 12.Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 1,5 кВ, зажата парафиновая пластинка (ε = 2) толщиной d = 5 мм. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на парафине.

Условие:

U = 1,5 кВ = 1,5∙103 В;

ε = 2;

d = 5 мм = 5·10-3 м;

σ′ - ?

Решение. Вектор электрического смещения D =ε0E +P, где Е – вектор напряженности электрического поля, Р – вектор поляризации.

Так как векторы D и Е нормальны к поверхности диэлектрика, то D = Dn, E = En.

Тогда можно записать D = ε0E + P, где Р = σ′ , т.е. равна поверхностной плотности связанных зарядов диэлектрика. Тогда

σ′ = D – εε0E.

Учитывая, что D = εε0E и E = U/d, где d – расстояние между обкладками конденсатора, найдем

σ′ = (ε - 1)ε0Е = ε0(ε - 1)U/d =2,65 мкКл/м2.

 

Пример 13.Определить ускоряющую разность потенциалов Δφ, которую должен пройти в электрическом поле электрон, чтобы его скорость возросла от v1 = 1,0 Мм/с до v2 = 5,0 Мм/с.

Условие:

v1 = 1,0 Мм/с = 1,0·106 м/с;

v2 = 5,0 Мм/с = 5,0·106 м/с ;

е = 1,6·10-19 Кл;

m = 9,1·10-31 кг;

Δφ - ?

Решение. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2

А = е Δφ. (1)

С другой стороны, она равна изменению кинетической энергии электрона

А = W2 – W1 = mv22/2 - mv12/2. (2)

Приравняв выражения (1) и (2), найдем ускоряющую разность потенциалов

Δφ = m (v22 – v12)/2e = 68, 3 В.

Пример 14.К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов Δφ1 = 1,5 кВ. Площадь пластин S =150 cм2 и расстояние между ними d = 5,0 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли стекло (ε = 7). Определить: 1) разность потенциалов между пластинами после внесения диэлектрика; 2) емкость конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика; 3) поверхностную плотность заряда σ на пластинах до и после внесения диэлектрика.

Условие:

Δφ1 = 1,5 кВ =1,5·103 В;

S = 150см2 = 1,5·10-2 м2;

d =5 мм = 5·10-3 м;

ε1 = 7, ε2 = 1;

Δφ2 - ? С1 -? С2 - ?

σ1 - ?, σ2 - ?

Решение. Так как Е1 = Δφ1/d = до внесения диэлектрика и E2 = Δφ2/d = после внесения диэлектрика, поэтому

и

Δφ2 = ε1Δφ12 = 214 В.

Емкость конденсатора до и после внесения диэлектрика

С1 = 4πε1ε0S/d = 26,5 пФ, C2 = 4πε1ε0S/d = 186 пФ.

Заряд пластин после отключения от источника напряжения не меняется, т. е. Q = const. Поэтому поверхностная плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика

σ1 = σ2 = Q/S = C1Δφ1/S = C2Δφ2/S = 2,65 мкКл/м2.

 


 

ТЕМА 10. Постоянный электрический ток

 

10.1. Электрический ток, сила и плотность тока

Сила тока Единица силы тока - 1 А (ампер) Сила постоянного тока: =const Плотность тока: Единица плотности тока - 1 А/м2 Заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за время dt,: dQ = ne<v>Sdt, где n и e – концентрация и заряд носителей тока, <v> - средняя арифметическая скорость упорядоченного движения электронов Сила тока: Плотность тока:

 

10.2. Электродвижущая сила (ЭДС). Напряжение

ЭДС: , где Аст - работа сторонних сил по перемещению положительного заряда Qo Работа сторонних сил по перемещению заряда Q0 на замкнутом участке пути: , где - напряженность поля сторонних сил. ЭДС, действующая в цепи,: ЭДС на участке цепи
Сила, действующая на заряд в проводнике: Работа результирующей силы на участке 1-2 зарядом Q0:   Для замкнутой цепи: Напряжение на участке 1-2:

 

10.3. Сопротивление проводников

Сопротивление однородного линейного проводник длиной l и площадью поперечного сечения S где - удельное электрическое сопротивление Единица измерения сопротивления – Ом Единица измерения удельного сопротивления – Ом.м Электрическая проводимость: Единица измерения электрической проводимости – См (сименс) Удельная электропроводимость: Единица измерения удельной электропроводности – См-1 Зависимость сопротивления от температуры: , где - температурный коэффициент сопротивления, К-1, t – температура, 0С.

 

10.4. Последовательное и параллельное соединение проводников

Соединение Последовательное Параллельное
Постоянная величина I1 = I2 = …=In I=concs U1=U2=…Un U=const
Суммируемая величина Напряжение сила тока
Результирующее сопротивление
 

 

10.5. Закон Ома для однородного участка и замкнутой цепи.

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащего источника тока): ,
Закон Ома в дифференциальной форме:  
Закон Ома для замкнутой цепи: где R –сопротивление внешней цепи, r – внутреннее сопротивление источника тока. Напряжение на внешней цепи: Ток короткого замыкания:
Закон Ома для батареи последовательно соединенных элементов: где n- число элементов в батарее
Закон Ома для батареи параллельно соединенных элементов: где n – число элементов в батарее  
Закон Ома для смешанного соединения элементов в батарею: где k- число ветвей в батарее, n – число элементов в ветви.
Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома): где - действующая на участке 1-2 ЭДС, - разность потенциалов, приложенная к концам проводника.

 

10.6. Анализ обобщенного закона Ома

Источника тока нет: Из ОЗО: Закон Ома для однородного участка цепи
Цепь замкнута Из ОЗО: где R- сопротивление всей цепи Закон Ома для замкнутой цепи
Цепь разомкнута: I=0 Из ОЗО : ЭДС в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах

 


10.7. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Первое правило Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
Второе правило Кирхгофа: В любом замкнутом контуре:

 

10.8. Работа и мощность тока

Элементарная работа электрического тока: dA= Udq = IUdt = I2Rdt =
Работа электрического тока: A= IUdt = I2Rdt = Единица работы – Дж (джоуль) Внесистемная единица работы 1квт.ч= 3,6 МДж=.3,6.106 Дж
Работа постоянного электрического тока: A= Uq = IUt = I2Rt =
Мощность электрического тока: Единица мощности – Вт (ватт)
Закон Джоуля - Ленца: dQ= Udq = IUdt = I2Rdt = Закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: Q== IUdt = I2Rdt =
Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока Q= Uq = IUt = I2Rt =
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: , где - удельная тепловая мощность тока  
Коэффициент полезного действия источника тока (КПД):

 

Пример 15.Найти сопротивление R , железного стержня диаметром d = 1 cм, если масса стержня m = 1 кг.

Условие:

d = 1 см = 0,01 м

v = 1 кг

=0,087 мкОм.м=8,7.10-8 Ом.м.

=7,7.103 кг/м3

R -?

Решение:

-Сопротивление стержня определяется по формуле

,

где удельное сопротивление железа, -длина стержня и площадь поперечного сечения.

Масса проволоки

,

где V - объем стержня, - плотность стали.

Откуда длина стержня равна:

,

поскольку площадь поперечного сечения стержня

Тогда сопротивление стержня равно:

 

 


 

тЕМА 11. Магнитное поле

 

11.1. Основные характеристики магнитного поля

Вращающий момент сил на рамку с током в магнитном поле где pm-магнитный момент рамки с током, - магнитная индукция; - угол между нормалью к плоскости контура и вектором
Магнитный момент рамки с током S – площадь поверхности контура (рамки); - единичный вектор нормали к поверхности рамки
Магнитная индукция где Ммах – максимальный вращающий момент Единица измерения индукции магнитного поля: Тл (тесла)= 1Н/А.м
Магнитная индукция: , где - вектор напряженности магнитного поля, А/м - магнитная проницаемость среды, - магнитная постоянная
Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: Магнитная индукция результирующего поля равна: где Вi – магнитная индукция, создаваемая каждым током (движущимся зарядом) в отдельности

 

11.2. Закон Био -Савара – Лапласа и его применение

Закон Вио – Савара – Лапласа: Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника с током I в некоторой точке равна: , где - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку поля. Скалярная форма записи закона Био – Савара – Лапласа имеет вид: где - угол между и .
Магнитное поле прямого тока: , где - углы, под которыми из рассматриваемой точки поля видны начало и конец проводника, r – расстояние до проводника Магнитное поле бесконечного прямого тока:
Магнитное поле в центре кругового витка радиусом r:
Магнитное поле на оси кругового витка на расстоянии b от его центра = где – магнитный момент витка с током I
Магнитное поле на оси соленоида конечной длины: , где n=N/L – число витков, приходящихся на единицу длины, N, L – соответственно, число витков и длина соленоида, - углы, под которыми из произвольной точки на оси соленоида видны его концы Максимальная индукция в центре соленоида равна: , где r – радиус витка соленоида.

11.3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

Сила Ампера, действующая на элемент проводника с током I , где - угол между и . Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины l с током I: Сила Ампера, действующая в однородном магнитном поле на прямолинейный проводник: , где -угол между током (вектором плотности тока) в проводнике и вектором
Сила взаимодействия двух параллельных токов I1, I2 длиной l находящихся на расстоянии r друг от друга:

 

11.4. Магнитное поле движущегося заряда

Магнитное поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нерялитивистской скоростью , где - радиус-вектор, проведенный из заряда Q к точке наблюдения, - угол между и .

 

11.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Сила Лоренца: где Q – электрический заряд, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией угол между и
Формула Лоренца (сила, действующая на движущийся заряд со стороны магнитного поля с индукцией и электрического поля с напряженностью :
1. В однородном магнитном поле, если угол между и равен 0 или , сила Лоренца Fл=0, то частица движется равномерно и прямолинейно   2. Если угол = /2, тогда , частица движется по окружности радиуса: , период обращения частицы равен: 3. Заряженная частица движется со скоростью под углом к вектору , возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии: Радиус спирали равен:

 

11.6 Теорема о циркуляции вектора (закон полного тока для магнитного поля в вакууме) и ее применение к расчету магнитных полей

Теорема о циркуляции вектора : Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: где - составляющая вектора в направлении касательной к контуру с учетом (выбранного обхода), - угол между векторами и
Магнитное поле на оси бесконечно длинного соленоида (цилиндрической катушки):
Магнитное поле внутри тороида (кольцевой катушки): , где N- число витков, r – расстояние от центра тороида.

Пример 16.Ток I =20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S = 1 мм2, создает в центре кольца напряженность Н = 178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки. образующей кольцо?

Условие:

I=20 A

S = 1 мм2 = 10-6 м2

Н = 178 А/м

мкОм.м=1,7.10-8 Ом.м

U-?


Дата добавления: 2014-10-31; просмотров: 53; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.052 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты