Анализ спектрального состава периодических сигналов

11000010 00100000 11101101 11100000¨11110111 11100000 11101011 11100101¨ 00100000 11101101 11100000 11110011¨11110111 11101101 11101110 11101001¨ 00100000 11101010 11100000 11110000¨11111100 11100101 11110000 11111011¨ 00100000 11011101 11101001 11101101¨11111000 11110010 11100101 11101001¨ 11101101 11100000 00100000 11101110¨11100100 11101000 11101101 00100000¨ 11100110 11110011 11110000 11101101¨11100000 11101011 11101000 11110001¨ 11110010 00100000 11110001 11101111¨11110000 11101110 11110001 11101000¨ 11101011 00100000 11100011 11101110¨11110001 11101111 11101110 11100110¨ 11110011 00100000 11011101 11101001¨11101101 11111000 11110010 11100101¨ 11101001 11101101 00101100 00100000¨11110111 11110010 11101110 00100000¨ 11101110 11101101 11100000 00100000¨11100100 11110011 11101100 11100000¨ 11100101 11110010 00100000 11101110¨00100000 11110001 11100010 11101110¨ 11100101 11101100 00100000 11101100¨11110011 11100110 11100101 00101110¨ 00100000 00101101 00100000 11001100¨11101110 11101001 00100000 11101100¨ 11110011 11100110 00100000 00100000¨11100011 11100101 11101101 11101000¨ 11101001 00100001 00100000 00101101¨00100000 11110001 11101010 11100000¨ 11100111 11100000 11101011 11100000¨00100000 00100000 11100011 11101110¨ 11110001 11101111 11101110 11100110¨11100000 00100000 00100000 11011101¨ 11101001 11101101 11111000 11110010¨11100101 11101001 11101101 00101110¨ 00100000 00101101 00100000 11001110¨11101101 00100000 00100000 11110011¨ 11101100 11100101 11100101 11110010¨00100000 11100100 11100101 11101011¨ 11100000 11110010 11111100 00100000¨11100000 11100001 11110001 11101110¨ 11101011 11111110 11110010 11101101¨11101110 00100000 11100010 11110001¨ 11100101 00101100 00100000 11101010¨11110000 11101110 11101100 11100101¨ 00100000 11100100 11100101 11101101¨11100101 11100011 00101110 ¨

При работе ГОСТ 28147-89 в режиме гаммирования описанным ниже образом формируется криптографическая гамма, которая затем побитно складывается по модулю 2 с исходным открытым текстом для получения шифротекста.

Шифрование в режиме гаммирования лишено недостатков, присущих режиму простой замены.^[2] Так, даже идентичные блоки исходного текста дают разный шифротекст, а для текстов с длиной, не кратной 64 бит, "лишние" биты гаммы отбрасываются. Кроме того, гамма может быть выработана заранее, что соответствует работе шифра в поточном режиме.

Выработка гаммы происходит на основе ключа и так называемой синхропосылки, которая задает начальное состояние генератора. Алгоритм выработки следующий:

1. Синхропосылка шифруется с использованием описанного алгоритма простой замены, полученные значения записываются во вспомогательные 32-разрядные регистры N₃ и N₄ - младшие и старшие биты соответственно.

2. К N₃ и N₄ прибавляются константы соответственно C₂ = 1010101₁₆ и C₁ = 1010104₁₆

3. N₃ и N₄ переписываются соответственно в N₁ и N₂, которые затем шифруются с использованием алгоритма простой замены. Полученный результат является 64 битами гаммы.

4. Шаги 2-4 повторяются в соответствии с длиной шифруемого текста.

Генерирование гаммы:

Используем в качестве синхропосылки 64-разрядное двоичное число: 10010011100110100111101110001101¨00000110101001111000110100011111.

1. Зашифруем синхропосылку по алгоритму простой замены

1) 10010011100110100111101110001101+00101011101010100001101111011010= =10111111010001001001011101100111

2) 10111111010001001001011101100111mod 2³²=10111111010001001001011101100111

3) 1011 1111 0100 0100 1001 0111 0110 0111 заменяем по таблице:

(1,11) (2,15) (3,4) (4,4) (5,9) (6, 7) (7,6) (8,7)

1100 1001 1010 0000 1010 1101 0101 0100

4) 11001001101½000001010110101010100 сдвигаем на 11 знаков влево: 00000101011010101010011001001101.

5) Сложим по модулю 2 со 2-й частью синхропосылки: 00000101011010101010011001001101Å00000110101001111000110100011111=

=00000011110011010010101101010010

6) Результат меняем местами со 2-й частью: 00000110101001111000110100011111¨00000011110011010010101101010010

7) Повторяем для 1-й части со 2-м элементом ключа:

00000110101001111000110100011111+01111101001100011110000101010001=

10000011110110010110111001110000;

10000011110110010110111001110000 mod 2³²=10000011110110010110111001110000;

1000 0011 1101 1001 0110 1110 0111 0000

(1,8) (2,3) (3,13) (4,9) (5,6) (6,14) (7,7) (8,0)

0110 1100 0000 0100 1101 1111 1001 0001;

11 знаков01101100000½001001101111110010001 00100110111111001000101101100000;

00100110111111001000101101100000Å00000011110011010010111101001010=

00100101001100011010010000101010.

Результат шифрования синхропосылки дает первый элемент гаммы:

У₁=00100101001100011010010000101010¨00000011110011010010111101001010.

Младшие биты полученного результата (2-я часть) запишем в регистр N₃, старшие – в регистр N₄

1. К содержимому регистра N₃ прибавим C₂=1010101₁₆, к содержимому N₄ – C₁=1010104₁₆ : 00000011110011010010111101001010₂=3CD2B52₁₆; 3CD2F4A+1010101=4CE2C53₁₆=100110011100010110001010011₂;

00100101001100011010010000101010₂=2531A42A₁₆;

2531A42A+1010104=2632A52E₁₆=100110001100101010010100101110₂.

1. Результаты запишем в регистры N₁ и N₂:

1. Содержимое регистровN₁ и N₂ зашифруем с помощью простой замены, используя 3-й элемент ключа :

(00000100110011100010110001010011+10100110011100011001110010101101) mod2³²= =1010 1011 0011 1111 1100 1001 0000 0000

(1,10) (2,11) (3,3) (4,15) (5,12) (6,9) (7,0) (8,0)

0001 0001 1101 0011 0000 0110 1101 0001;

11 знаков00010001110½100110000011011010001

10011000001101101000100010001110; 10011000001101101000100010001110Å00100110001100101010010100101110=

10111110000001000010110110100000.

Меняем местами N₁ и N₂:

00100110001100101010010100101110¨10111110000001000010110110100000.

Шифруем 1-ю часть, используя 4-й элемент ключа:

(00100110001100101010010100101110+00010011100111011110001100111100) mod2³²=

=0011 1001 1101 0000 1000 1000 0110 1010;

(1,2) (2,9) (3,13) (4,0) (5,8) (6,8) (7,6) (8,10)

1001 0011 0000 0111 0100 0011 0101 0011;

11 знаков10010011000½001110100001101010011

00111010000110101001110010011000;

00111010000110101001110010011000Å10111110000001000010110110100000=

=10000100000111101011000100111000.

Результат: У₂=10000100000111101011000100111000¨10111110000001000010110110100000.

Записываем 2-ю часть в регистр N₃, 1-ю часть – в N₄:

Процесс повторяют, начиная со 2-го шага, до тех пор, пока не будет сгенерирована вся гамма. Полученную гамму складывают по модулю 2 с 64-битными блоками открытого текста:

11000010 00100000111011011110000011110111111000001110101111100101Å

Å 0010010100110001101001000010101000000011110011010010111101001010=

=1110011100010001010010011100101011110100001011011100010010101111₂ = =E71149CAF42DC4AF₁₆;

0010000011101101111000001111001111110111111011011110111011101001Å

Å 1000010000011110101100010011100010111110000001000010110110100000= =1010010011110011010100011100101101001001111010011100001101001001₂= =A4F351CB49E9C349₁₆.

Шифрограмма: E71149CAF42DC4AF A4F351CB49E9C349 …………

Анализ спектрального состава периодических сигналов

Пусть периодическая функция f(t) имеет период повторения, равный Т так, что f(t+T)=f(t). В качестве примера на рис.4.1 приведен график периодической последовательности видеоимпульсов прямоугольной формы.

Предположим, что периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле:

1) на интервале Т функция должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов только первого рода;

2) число экстремумов функции f(t) на интервале Т должно быть конечно и она не должна обращаться в бесконечность.

Следует отметить, что все периодические функции, с которыми имеют дело в теории цепей, удовлетворяют условиям Дирихле.

При принятых предположениях функция f(t) может быть представлена рядом Фурье:

,

(4.1)

где ω₁=2π/Т – частота основной (первой) гармоники, которая определяется периодом (частотой) повторения исходной функции f(t); А_к, φ_к и к·ω₁ – амплитуда, начальная фаза и частота к-ой гармоники; А_о /2 – постоянная составляющая, которую можно рассматривать как гармоническую составляющую с нулевой частотой, т.е. при к=0.

Коэффициенты разложения ( 4.1 ) определяются известным из математики соотношением:

.

(4.2)

Таким образом, периодический сигнал может быть представлен как результат наложения бесконечно большого числа гармонических колебаний. Хотя, теоретически ряд (4.1) бесконечен, для реальных сигналов он быстро сходится, так, что А_к → 0 при увеличении к. Периодическое колебание полностью описывается совокупностью амплитуд А_к и фаз φ_к в разложении (4.1). Первая совокупность называется спектром амплитуд, вторая – спектром фаз. Периодические сигналы имеют дискретный (линейчатый) спектр, так как частоты к·ω₁ составляющих спектра принимают дискретные значения, кратные основной частоте ω₁.

Спектры простейших периодических сигналов.

Пример 1. Рассмотрим периодический сигнал, заданный в виде усеченного ряда Фурье:

Спектр амплитуд и спектр фаз этого сигнала можно представить графически в виде отрезков линий при соответствующих значениях частоты. Длина каждой такой линии пропорциональна амплитуде А_к (для спектра амплитуд) или начальной фазе φ_к (для спектра фаз) гармонической составляющей с частотой к·ω₁ (к=0,1,2…) (рис.4.2).

Пример 2. Рассмотрим спектр последовательности видеоимпульсов прямоугольной формы, изображенной на рис.4.1. Для этого воспользуемся соотношением (4.2), в котором необходимо положить верхний предел интегрирования равным t_и, а f(t)=U_о:

Поскольку ω₁Т=2π, а то окончательно получим:

Введем в рассмотрение скважность последовательности Q=Т/t_и.

Тогда ω₁t_и = 2π/Q, а спектр амплитуд и спектр фаз будут иметь следующий вид:

; .

(4.3)

Значение спектра фаз увеличивается на π рад при частотах к·ω₁, на которых

sin(p / Q) меняет знак.

Спектры амплитуд и фаз для последовательности прямоугольных импульсов при Q=2 изображены на рис.4.3 по значениям, представленным в таблице 4.1.

Таблица 4.1