![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Матричные модели
Матричную модель можно рассматривать как конечно-разностный аналог динамической модели. Один из ранних вариантов матричной модели был разработан Льюисом и Лесли [30] как детерминистская модель, предсказывающая будущую возрастную структуру популяции самок по известной структуре в настоящий момент времени и гипотетическим коэффициентам выживания и плодовитости. Популяцию разбивают на n+1 возрастную группу (т. е. 0, 1, 2,..., п, причем каждая группа состоит из особей одного возраста), так что самая старшая группа, или группа, в которой все доживающие до данного возраста животные вымирают, имеет номер п. Обозначая через xn число особей в каждой возрастной группе, получаем вектор Модель описывается матричным уравнением
которое запишем в развернутом виде: где величины fi,(i=0,1,...,n) представляют число самок, производимых самкой i-го возраста, р, (i = 0,1,..., п -1) – вероятность того, что самка i-го возраста доживет до возраста i+1. Покажем, что поведение модели можно предсказать, анализируя некоторые формальные свойства матрицы А. Во-первых, последовательно умножая уравнение (9.19) на матрицу А, легко получить более общие уравнения для численности возрастных групп к моменту времени
Во-вторых, поскольку матрица А квадратная с (n+1) строками и столбцами, она имеет n+1 собственных чисел (с учетом кратности) и (n+1) собственных (и присоединенных) векторов. Элементы А являются либо положительными числами, либо нулями, поэтому наибольшее (по абсолютной величине) собственное число и координаты отвечающего ему собственного вектора положительны и при этом имеют определенный экологический смысл. Проиллюстрируем это на одной из простейших моделей, предложенных Уильямсоном [54]. Исходная популяция имеет вектор, представляющий возрастную структуру а0 = (0,0,1), т. е. популяция состоит из одной самки старшего возраста. Матрица А имеет вид: По прошествии одного временного интервала имеем т. е. a1 = (12, 0, 0) и в популяции уже будет 12 самок младшего возраста. Повторное применение модели дает следующие результаты: и т.д. Главное собственное число и собственный вектор матрицы А можно найти известными методами, имея
или полагая определитель которой Следовательно, главное собственное число λ1 = 2 и собственный вектор в силу (9.23) имеет вид
![]()
Нетрудно проверить, что система (9.25) допускает решение
где α0, β0, γ0 – некоторые положительные числа (например, если Тогда уравнение (9.21) примет вид:
Так как
Главное собственное число λ1 дает скорость, с которой возрастает размер популяции (в нашем примере за каждый временной интервал популяция удваивается), а собственный вектор Матричные модели очень удобны для расчета на ЭВМ и находят все более широкое применение, например, для анализа круговорота питательных веществ в экосистемах, в различных стохастических моделях [54] (в марковских моделях и т.д.).
Контрольные задания
1. Показать, что график логистического уравнения имеет единственную точку перегиба. Найти ее и дать биологическую интерпретацию. 2. Рассмотреть систему Вольтерра в случае 3. Построить и исследовать модель эпидемии в городе с 300-тысячным населением. 4. Исходная популяция имеет следующую возрастную структуру a0 = (0,6,12) и матрица Лесли А – следующий вид: Найти (приближенно) численность популяции через достаточно большое число п лет и ее устойчивую возрастную структуру.
|