![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Случайные изменения среды
Рассмотрим теперь модель, учитывающую случайные изменения среды. Простейшая модель, соответствующая уравнению (10.1), имеет вид
N(0)=N0, (10.16) где y(t) – случайная величина со средним значением, равным нулю. Решение задачи (уравнения (10.15) при условии (10.16)) имеет вид
Чтобы придать смысл интегралу
Численные параметры т и σ – это математическое ожидание (среднее значение) и среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Действительно, Применяя замену переменной
Нетрудно убедиться, что первый из двух интегралов в уравнении (10.19) равен нулю, а второй представляет собой известный интеграл Эйлера–Пуассона
поэтому из уравнения (10.19) вытекает, что М[Х]=т. Вычислим дисперсию величины X: Применив снова замену переменной
Интегрируем это выражение по частям:
Следовательно, σ в выражении (10.18) равна корню из дисперсии, т. e. среднему квадратичному отклонению. Итак, Е[уi]=т, D[yi]=var(yi)=σ2. (10.23) Покажем, что если т= Применив снова замену х =
Вернемся к формуле (10.17), которая в наших предположениях имеет вид откуда для среднего значения N(t) получаем выражение
а для дисперсии D[N] = var(N) –
Теперь имеем
Следовательно,
и коэффициент вариации при t → ∞ равен
Из формул (10.26) и (10.30) следует, что хотя, как и в детерминистском случае, среднее значение N(t) экспоненциально возрастает, экспоненциально возрастают и отклонения от среднего значения. Таким образом, с течением времени колебания численности популяции становятся все более резкими. В этом отражается то обстоятельство, что детерминистская система не имеет стационарного состояния, более того, при определенных соотношениях между а и σ вероятность ее вымирания приближается к единице. Найдем вероятность вымирания популяции за время t – функцию p0(t): Положим Полагая
где Ф(х) = Если Проведенный анализ показывает, что преимущественное использование детерминистских, а не стохастических моделей оправдано лишь тем, что в математическом плане они проще и удобнее. При этом если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то соответствующая стохастическая модель предсказывает длительное выживание; если же детерминистская модель не выявляет равновесия или предсказывает неустойчивое равновесие, то стохастическая модель может предсказать вероятность вымирания. Контрольные задания
1. Допустим, вероятность λ рождения особью детеныша в два раза больше вероятности μ гибели самой особи. Определить среднее значение N(t) популяции в момент времени t = 100, вычислить также вариацию var (N(t)), коэффициент вариации 2. В модели, учитывающей случайные изменения среды, будем предполагать, что а=
|