КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод Ньютона для системы нелинейных уравненийВ основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыдущей итерации) равны соответственно . Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям , благодаря которым решение исходной системы запишется в виде: . Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений: Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к нулю и правые части:
в матричном виде: Значения и их производные вычисляются при . Определителем последней системы является якобиан: . Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации. Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине: . В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем или . Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения системы нелинейных уравнений функции дважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якоби не равен нулю. Тогда найдется такая малая – окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: , – метод сходится с квадратичной скоростью. В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений: , где и – непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны . После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить: Предположим, что якобиан системы при и отличен от нуля: . Тогда значения и можно найти, используя матричный способ следующим образом: .
Вычислив значения и можно найти и следующим образом: . Величины, стоящие в правой части, вычисляются при и . Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если или . Пример.Методом Ньютона решить систему двух уравнений: с точностью до 0,001.
|