Механические колебания. 4 страница

8. Обработать результаты эксперимента. Вычислить угловую скорость прецессии гироскопа W = a/t для всех значений угловой скорости w (вращение в данном случае равномерное) и вычислить среднее значение для каждого режима вращения двигателя. Найти ошибку измерений DW по разбросу результатов и построить график зависимости W(1/w). Сделать вывод относительно выполнения зависимости (2).

Рассчитать момент инерции гироскопа в каждом случае (k – номер измерения, w и W выразить в радианах в секунду)

и вычислить среднее значение .

Определить среднюю арифметическую ошибку результата DJ (формулу вывести самостоятельно). Погрешность Dl₀ и Dw определить по цене деления измерительных приборов, погрешность Dm = 1 г.

9. Результат измерений представить в виде .

Контрольные вопросы

1. Что такое гироскоп?

2. Какими свойствами обладает гироскоп? Какими физическими законами обусловлены эти свойства?

3. Почему возникает регулярная прецессия гироскопа?

4. От каких параметров системы зависит угловая скорость прецессии?

Работа 10. определение отношения

теплоемкости воздуха при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме

методом адиабатического расширения

Цель работы – изучить законы идеального газа и основные положения классической теории теплоемкости; определить коэффициент Пуассона g* методом адиабатического расширения (методом Клемана – Дезорма).

Общие сведения

Количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К, называют молярной теплоемкостью.

,

где Q – количество тепла, подводимого к системе; Т – абсолютная температура системы; M – масса газа; m – масса одного моля газа.

Как показывают теория и опыт, теплоемкость зависит от условий, при которых нагревается газ, т.е. от характера термодинамического процесса.

Теплоемкость газа при постоянном давлении С_p больше теплоемкости при постоянном объеме C_V. Это легко показать качественно на основании первого начала термодинамики: количество тепла Q, подводимого к системе, идет на увеличение внутренней энергии системы DU и на совершение этой системой работы A над внешними телами:

Q = DU + A.

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа не совершается и все подводимое тепло идет на увеличение запаса его внутренней энергии U, т.е. только на повышение температуры газа. Если же газ нагревается при постоянном давлении, он расширяется и производит работу, требующую дополнительного расхода тепла. Таким образом, для повышения температуры газа на определенную величину в изобарном процессе требуется большее количество теплоты, чем при изохорном.

Как следует из теории,

C_p = C_V + R, (1)

где R – универсальная газовая постоянная.

Выражение (1) носит название соотношения Майера.

Отношение g = С_р/C_V входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0):

. (2)

Здесь p₁ и V₁ – давление и объем газа в первом состоянии; p₂ и V₂ – давление и объем газа во втором состоянии.

Полную теплоизоляцию газа от внешней среды осуществить невозможно. Однако, если параметры состояния газа изменяются очень быстро, процесс можно приближенно считать адиабатическим. На практике адиабатический процесс совершается в некоторых тепловых двигателях (например, в двигателе Дизеля); распространение звука в газах (быстрое периодическое изменение давления в малых областях пространства) также протекает адиабатически.

Рассмотрим метод Клемана – Дезорма. Накачаем насосом воздух в большой стеклянный баллон В (см. рисунок) и закроем кран K. При быстром сжатии температура воздуха повышается. Поэтому после прекращения нагнетания разность уровней жидкости в манометре будет постепенно уменьшаться, пока температура воздуха внутри баллона не сравняется с температурой окружающего воздуха. Назовем состояние воздуха в баллоне после выравнивания температур состоянием 1. Параметры состояния 1 следующие: V₁ – объем единицы массы воздуха; t₁ – температура воздуха; H + h₁ – давление в баллоне, выраженное в единицах разности уровней жидкости в манометре*; Н – атмосферное давление; h₁ – избыточное давление, созданное накачиванием.

Откроем кран K и, как только давление в баллоне В сравняется с атмосферным (это можно определить по прекращению характерного шипения), закроем его. Так как расширение происходит очень быстро, то процесс близок к адиабатическому и, следовательно, температура понизится до t₂. Объем единицы массы воздуха станет равным V₂. Воздух, оставшийся в баллоне, перейдет в состояние 2 с параметрами V₂, t₂, Н. Так как температура t₂ меньше наружной, то воздух в баллоне будет постепенно нагреваться (вслед­ствие теплообмена с окружающей средой) до температуры окружающего воздуха t₁. Это нагревание происходит изохорически, так как кран закрыт. Давление воздуха в баллоне увеличивается по сравнению с атмосферным, и в манометре возникает разность уровней h₂, т.е. воздух переходит в состояние 3 с параметрами V₂, t₁, Н + h₂.

Таким образом, мы имеем три состояния газа со следующими параметрами:

В состояниях 1 и 3 воздух имеет одинаковую температуру, следовательно, параметры этих состояний можно связать уравнением изотермического процесса (уравнением Бойля – Мариотта):

. (3)

Переход от состояния 1 к состоянию 2 происходит адиабатически, поэтому параметры их связаны уравнением Пуассона (2), которое примет вид

(4)

Преобразуем уравнение (3). Возведем обе его части в степень g:

.

Разделим почленно полученное равенство на выражение (4),

.

Прологарифмируем последнее равенство:

,

откуда

Так как величины h₁ и h₂, выраженные в миллиметрах ртутного столба, очень малы по сравнению с Н и, следовательно, дроби h₁/H и (h₁ – h₂)/(H + h₂) также незначительны, для нахождения логарифма можно воспользоваться выражением

,

где х – малая величина. Поскольку х² и, тем более, х³ – величины высших порядков малости, ими можно пренебречь, то lg(1 + x) @ x и, следовательно,

Пренебрегая величиной h₂ в сумме H + h₂, получим расчетную формулу

. (5)

Порядок выполнения работы

1. Открыв кран K, накачать насосом воздух в баллон В и закрыть кран.

2. Измерить разность уровней h₁, когда разность уровней жидкости в манометре стабилизируется (т.е. температура воздуха в баллоне станет равной комнатной температуре).

3. Открыть кран K, и когда избыток воздуха выйдет из баллона (прекратится характерное шипение воздуха), быстро закрыть его.

4. Измерить разность уровней h₂, когда разность уровней жидкости в манометре стабилизируется.

5. Повторить 10 раз пп.1-4 и оформить результаты измерений в виде таблицы:

Здесь Dh₁ и Dh₂ – приборная ошибка в измерении h₁ и h₂, Dh₁ = Dh₂ = 1 мм.

6. Вычислить g для каждого измерения по формуле (5); найти среднее значение .

7. Рассчитать погрешность измерения. В этом случае (величина g определяется многократно) допускается рассчитать его как среднее квадратическое для серии n измерений:

.

8. Привести окончательный результат в виде .

Контрольные вопросы

1. Что такое теплоемкость, молярная теплоемкость, удельная теплоемкость? Как связаны эти параметры? Какова размерность теплоемкости? От чего зависит молярная теплоемкость?

2. Почему C_p > C_V с точки зрения первого начала термодинамики?

3. Какой процесс называют адиабатическим? Каким уравнением описывается адиабатический процесс?

4. Какие термодинамические процессы рассматриваются в данной работе? Изобразите эти процессы в координатах р – V.

5. Почему измерение давления следует производить не сразу после выпуска воздуха, а через некоторое время?

6. Для чего баллон покрыт теплоизолирующей оболочкой?

теплоемкости воздуха при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме

методом стоячей волны

Цель работы – определить g = C_p/C_V методом стоячей звуковой волны.

Общие сведения

Звуковые волны являются продольными волнами сжатия и расширения, следовательно, их скорость зависит от упругих свойств среды. Из теории следует, что скорость звуковых волн в твердых телах

где ρ – плотность среды; Е – модуль Юнга.

Для газов и жидкостей скорость звука

(1)

где K – модуль объемной упругости.

Газы обладают способностью сопротивляться изменению его объема, т.е. газам присуща объемная упругость, проявляющаяся в изменении давления газа р при изменении его объема V. По закону Гука для объемной деформации, изменение давления газа dp при малом изменении его объема dV прямо пропорционально относительной объемной деформации:

(2)

Для газа значение K зависит от вида термодинамического процесса.

При распространении волн в газе вследствие сжатий и расширений происходит изменение температуры различных участков среды. Для волн высокой частоты, например звуковых, температуры отдельных участков не будут успевать выравниваться за время одного колебания. Поэтому кратковременные процессы сжатия и расширения можно считать происходящими без теплообмена, т.е. адиабатическими. Уравнение Пуассона для адиабатического процесса

(3)

где – отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме.

Дифференцируя уравнение (3), получим

откуда

(4)

Из формул (2) и (4) получим

(5)

Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона

плотность газа

(6)

где μ – молярная масса; Т – абсолютная температура; R – универсальная газовая постоянная.

Подставляя формулы (5), (6) в (1), запишем

откуда

(7)

Таким образом, определение γ сводится к измерению скорости звука и абсолютной температуры воздуха. В данной работе скорость звука определяется методом стоячих волн – методом Кундта.

Если в трубе, один конец которой закрыт, возбудить звуковые колебания, в ней в результате наложения двух встречных волн (прямой и отраженной) с одинаковыми частотами и амплитудами будут возникать стоячие волны. В определенных точках амплитуда стоячей волны равна сумме амплитуд обоих колебаний и имеет максимальное значение; такие точки называются пучностями. В других точках результирующая амплитуда равна нулю, такие точки называются узлами. Расстояние между cоседними пучностями равно l/2, где l – длина бегущей звуковой волны. Таким образом, измерив расстояние (l/2) между двумя ближайшими пучностями, можно найти длину бегущей звуковой волны l. Фазовая скорость волны

v = ln, (8)

где n – частота колебаний.

В экспериментальную установку (см. рисунок) входят: стеклянная труба, в которой создается стоячая волна, звуковой генератор (ЗГ), микровольтметр, частотомер (Ч). В стеклянную трубу вмонтированы неподвижный микрофон (М) и телефон (Т), который может свободно перемещаться вдоль оси трубы.

Звуковой генератор вырабатывает синусоидальное напряжение звуковой частоты, которое подается на телефон. Переменный ток приводит в колебательное движение мембрану телефона, являющуюся излучателем звуковой волны. Отраженная от противоположной стенки трубы волна движется навстречу излучаемой и происходит их наложение. В результате в трубе возникает стоячая звуковая волна. В микрофоне происходит преобразование механической энергии волны в энергию электрического тока, величина которого измеряется микровольтметром. Частота звуковой волны устанавливается на генераторе, точное значение частоты измеряется частотомером. При перемещении телефона вдоль трубы ток в цепи микрофона будет меняться от минимального, когда микрофон попадает в узел, до максимального, когда он попадает в пучность. Таким образом, следя за показаниями микровольтметра, можно найти положения нескольких пучностей стоячей волны и вычислить ее длину.

Порядок выполнения работы

1. Включить нажатием тумблеров «ВКЛ» и «СЕТЬ» звуковой генератор, частотомер и вольтметр, прогреть приборы в течение 3-5 мин.

2. После прогрева установить необходимую частоту колебаний на звуковом генераторе (удобен диапазон 1000-1800 Гц), измеряя точное значение частоты частотомером.

3. Перемещая телефон вдоль трубы, найти ближайшее к левому концу трубы положение телефона l_k, при котором показание микровольтметра максимально, записать его в таблицу.

4. Зафиксировать еще несколько положений, при которых показания микровольтметра максимальны.

5. Вычислить разность между соседними отсчетами dl_k = = l_k – l_k-1 для всех наблюдавшихся пучностей, усреднить полученные значения.

6. По среднему расстоянию между пучностями рассчитать длину бегущей волны l = и скорость по формуле (8).

7. Повторить пп.3-6 для четырех-пяти значений частоты в интервале 1000-1800 Гц.

8. Измерить температуру воздуха в помещении.

9. Рассчитать g по формуле (7) при m = 2,9×10^-2 кг/моль (воздух) и R = 8,31 Дж/(моль×К).

10. Результаты измерений и расчетов записать в таблицу:

11. Найти среднее значение . Рассчитать погрешность измерения g одним из двух способов:

· если произведено не менее 10 измерений, то допустимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку по формуле

;

· если количество опытов невелико, то следует рассчитать среднюю арифметическую ошибку косвенных измерений Dg.

Формулу для расчета Dg следует вывести самостоятельно, опираясь на расчетные формулы (7) и (8).

Контрольные вопросы

1. Что такое теплоемкость, молярная теплоемкость, удельная теплоемкость? Какова размерность теплоемкости?

2. Почему C_p > C_V с точки зрения первого начала термодинамики?

3. Что такое бегущая и стоячая звуковые волны? Каковы основные характеристики волны?

4. Каков механизм распространения звуковой волны?

5. Что представляет собой звуковая волна с точки зрения термодинамики? Каким уравнением и графиками описывается рассматриваемый процесс?

6. От чего зависит скорость распространения звуковой волны?

Работа 12. определение коэффициента вязкости, длины свободного пробега

и эффективного диаметра молекулы газа

Цель работы – определить коэффициент вязкости, длину свободного пробега и эффективный диаметр молекулы газа, изучая процесс протекания газа через узкую трубу.

Общие сведения

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа хаотическое молекулярное движение является физической причиной наблюдаемых в газах явлений переноса энергии при выравнивании температур (теплопроводность), массы при выравнивании концентраций (диффузия), импульса при выравнивании скоростей направленного движения молекул (вязкость). Хотя скорость движения молекул велика, процессы переноса совершаются относительно медленно, так как столкновения между молекулами препятствуют их свободному движению и заставляют двигаться по ломаным траекториям.

Силы взаимодействия между молекулами становятся заметными лишь при малых расстояниях между ними. Поэтому считают, что на пути свободного пробега молекулы движутся прямолинейно и равномерно, а отклонения происходят только при их достаточном сближении.

Среднее расстояние, которое проходит молекула за время между двумя последовательными столкновениями, называется средней длиной свободного пробега. Для идеальных газов средняя длина свободного пробега

,

где k – постоянная Больцмана, k = 1,38×10^-23 Дж/К; n – концентрация; s – эффективный диаметр молекулы, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул; Т – абсолютная температура; р – давление.

Эффективный диаметр зависит от скорости молекул, несколько уменьшаясь с увеличением скорости (с повышением температуры).

Основные количественные данные для определения длины свободного пробега молекул и их эффективных диаметров были получены из исследования явлений переноса, так как скорость выравнивания концентраций, температуры и импульса молекул определяется их столкновениями при тепловом движении.

Вязкость (внутреннее трение) есть свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одного слоя вещества относительно другого.

Пусть какой-либо слой жидкости или газа течет со скоростью v (рис.1), а слой, отстоящий от него на расстоянии Dу, со скоростью v + Dv. Скорость при переходе от слоя к слою изменяется на величину Dv. Отношение Dv/Dу характеризует быстроту изменения скорости и называется градиентом скорости. При движении плоских слоев сила трения между ними, согласно закону Ньютона,

,

где h – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости или динамической вязкостью; S – площадь соприкосновения слоев.

Коэффициент вязкости зависит от рода газа или жидкости, давления и температуры. В СИ единица коэффициента вязкости – паскаль·секунда (Па×с).

Направлены силы трения по касательной к поверхности соприкосновения слоев.

В газах расстояние между молекулами существенно больше радиуса действия молекулярных сил, поэтому вязкость газов – следствие хаотического движения молекул. Коэффициент вязкости идеальных газов

,

где m – масса молекулы; – средняя скорость теплового движения молекул; r – плотность газа.

В жидкостях, где расстояние между молекулами много меньше, чем в газах, вязкость обусловлена межмолекулярным взаимодействием.

Коэффициент вязкости можно найти по закону Пуазейля, определяющему объем газа V, протекающего через капилляр при ламинарном течении:

, (1)

где r – радиус капилляра; t – время, в течение которого вытекает газ данного объема; – разность давлений на концах капилляра, обусловливающая течение газа через него; l – длина капилляра; h – коэффициент вязкости.

Измерив все величины, входящие в формулу (1), можно вычислить коэффициент вязкости

. (2)

Средняя длина свободного пробега рассчитывается по известному h:

,

где r – плотность газа, ; р – атмосферное давление; m – молярная масса газа, для воздуха m = 2,9×10^-2 кг/моль; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль×К); T – температура газа, К; – средняя арифметическая скорость молекулы газа,

Таким образом, средняя длина свободного пробега

. (3)

Эффективный диаметр молекулы

, (4)

где k – постоянная Больцмана, k = 1,38×10^-23 Дж/К.

Экспериментальная установка представляет собой сосуд, наполовину заполняемый водой (рис.2). Сверху сосуд плотно закрывается пробкой, а снизу снабжен краном для выливания воды. Объем воздуха, находящийся над водой в сосуде, соединяется с атмосферой через узкий капилляр. Разность давлений на концах капилляра измеряется манометром. Если открыть кран, то вода сначала будет выливаться из сосуда непрерывной струей, а потом сериями отдельных капель. Это обусловлено тем, что при вытекании воды в сосуд через капилляр будет поступать воздух. А так как капилляр очень узкий, то воздух просачивается через него медленно. Вследствие этого на концах капилляра возникает разность давлений Dp (справа атмосферное давление, слева давление меньше атмосферного). Эта разность давлений

Dp = rg(h₁ – h₂), (5)

где r – плотность воды; g – ускорение свободного падения; h₁ и h₂ –высота уровней в коленах манометра.

V = pD²(H₁ – H₂)/4, (6)

где D – диаметр сосуда; H₁ и H₂ – высота уровней воды в сосуде в начале и в конце опыта, соответственно.