Двумерная случайная величина.

Функция распределения одной случайной величины не может описать все многообразие природных и, в том числе, экономических процессов и явлений. Для описания этих процессов используются двумерные и многомерные случайные величины. В данной главе остановимся на двумерных случайных величинах.

Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.

где X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.

где

X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайно взятую точку на плоскости Оxy, где x и y координаты этой точки.(Рис.1) Т.е. функция распределения F (x,y) есть вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке А(x,y), лежащей левее и ниже этой точки.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:

где вероятность суммируется для всех xi < x и yi < y.

Двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайно взятую точку на плоскости Оxy, где x и y координаты этой точки.(Рис.1) Т.е. функция распределения F (x,y) есть вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке А(x,y), лежащей левее и ниже этой точки.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:

где вероятность суммируется для всех xi < x и yi < y.

Рис.1

Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1.Функция 0 ≤ F(x,y) ≤ 1, т.е. величина неотрицательная меньше 1.

2.Функция F(x,y) есть возрастающая функция по каждому из аргументов.

3.Функция распределения F(x,y) = 0, если хотя бы один из аргументов x или y стремится к минус бесконечности.

4.Функция F(x,y) равна функции от одного аргумента F(x) (F(y)), если y (x) стремится к бесконечности.

5. Функция F(x,y) равна 1, если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности.

Геометрический смысл функции распределения есть поверхность на координатной плоскости Оxy.(Рис.2) Значение функции равно вероятности попадания случайной величины в область, рассчитанную по формуле:

Формула рассчета вероятности, состоящая из 4-х слагаемых, объясняется тем, что вероятность равна вероятности попадания случайной величины в бесконечный квадрант, исходящий из точки В, минус квадрант в точках А и С и плюс бесконечный квадрант в точке D, т.к. квадрант в точке D был вычтен дважды.

Рис.2