Геометрический закон распределения.

Последовательно проводится несколько независимых испытаний до появления некоторого события Х , вероятность которого в каждом испытании одна и та же и равна р . Примером может служить стрельба по некоторой цели до первого попадания, причём вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и сохраняет постоянное значение. Число произведённых выстрелов будет случайной величиной, возможные значения которой являются все натуральные числа.

Определение: Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1,2,…., m,….(бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями)

Р(Х=m)=pqm-1, где 0<p<1, q=1-p. (7)

Ряд геометрического распределения имеет вид:

Как мы видим, вероятности рi образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q. Отсюда и название: геометрическое распределение.

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда .

Теорема: Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по геометрическому закону с параметром р

М(Х)= , (8)

D(X)= . (9).

Пример: Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной без ограничений числа проверенных деталей. Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

Решение: Случайная величина Х – число проверенных деталей до обнаружения бракованной имеет геометрическое распределение с параметром p=0,1. Ряд распределения имеет вид

По формулам (7) и (8) М(Х)= , D(X)= .