ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. В углах при основании равнобедренного треугольника с боковой стороной 8 см расположены заряды Q₁ и Q₂. Определить силу, действующую на заряд Q₂ равный 1нКл, помещенный в третью вершину треугольника, угол при которой 120°. Рассмотреть случаи: а) Q₁= Q₂ = 2 нКл; б) ½Q₁½=½-Q₂ ½= 2 нКл.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции поле каждого из зарядов Q₁ и Q₂ действует на заряд Q₃ независимо. Это значит, что на заряд Q₃ действуют силы (рис. 1, а): , . Так как , то . Векторная сумма является искомой величиной. Модуль силы определяется по теореме косинусов В случае одноименных зарядов Q₁ и Q₂ из рис.1, а видно, что угол b = 120°, поэтому F₁ = F₁₃ = F₂₃: . F₁=2,8×10^-6 Н.

В случае разноименных зарядов Q₁ и Q₂ из рис.1,б видно, что угол b = 60° и, следовательно, ,

F₂=4,8×10^-6 Н.

Ответ: F₁=2,8×10^-6 Н, F₂= 4,8×10^-6 Н.

2. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии l=8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии h=5 см от линии, соединяющей заряды.

Решение. Напряженность поля, создаваемого в точке А (рис.2) зарядами Q₁ и Q₂ по принципу суперпозиции полей, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов:

. (1)

По теореме косинусов: . (2)

Напряженность поля точечного заряда Q: , где – диэлектрическая проницаемость; – электрическая постоянная; – расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется его напряженность. Заряды Q₁ и Q₂ отрицательны, следовательно, векторы и направлены к зарядам. По условию заряды Q₁ = Q₂ расположены на одинаковом расстоянии от точки А, поэтому Е₁ = Е₂. Следовательно, формула (2) принимает вид Е = 2Е₁×cos , где cos = h/r, . Тогда напряженность в точке А: , E = 480 В/м. Потенциал , создаваемый системой точечных зарядов в данной точке поля, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых этими зарядами: . Потенциал результирующего поля в точке А равен: . Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, . Следовательно, = - 40 В.

Ответ: Е = 480 В/м; = - 40 В.

3. Заряд 1 нКл переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1 м от бесконечно длиной равномерно заряженной нити, в точку на расстоянии 10 см от нее. Определить работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м. Какая работа совершается на последних 10 см пути?

Решение. Работа внешней силы по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом в точку с потенциалом равна: . (1)

Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда t создает аксиально-симметричное поле напряженностью . Напряженность и потенциал этого поля связаны соотношением откуда Разность потенциалов точек поля на расстоянии от нити: (2)

Подставляя в формулу (1) найденное выражение для разности потенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1 м, до точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от нити: , A₁ = 4,1×10^-5 Дж. Работа по перемещению заряда на последних 10 см пути равна: , A₂ = 1,25×10^-5 Дж.

Ответ: А₁ = 4,1×10^-5 Дж; А₂ = 1,25×10^-5Дж.

4. К одной из обкладок плоского конденсатора прилегает стеклянная плоскопараллельная пластинка (e=7) толщиной 9 мм. После того как конденсатор отключили от источника напряжения 220 В и вынули стеклянную пластинку, между обкладками установилась разность потенциалов 976 В. Определить зазор между обкладками и отношение конечной и начальной энергии конденсатора.

Решение. После отключения конденсатора и удаления стеклянной пластинки заряд на его обкладках остается неизменным, т.е. выполняется равенство: . (1)

где С₁ и С₂ – электроемкости конденсатора в начальном и конечном случае. По условию конденсатор вначале является слоистым и его электроемкость определяется по формуле: , (2)

где S – площадь обкладок; d₀ – зазор между ними, d₁ – толщина стеклянной пластинки; ε₁ и ε₂ – диэлектрические проницаемости стекла и воздуха соответственно. После удаления стеклянной пластинки электроемкость конденсатора: . (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим: , откуда , м. Начальная и конечная энергии конденсатора: , . Тогда отношение этих энергий: . Учитывая (1), получим: .

Ответ: d₀ = 10^{-2 м;} W₂/W₁ = 4,44.

5. Батарею из двух конденсаторов емкостью 400 и 500 пФ соединили последовательно и включили в сеть с напряжением 220 В. Потом батарею отключили от сети, конденсаторы разъединили и соединили параллельно обкладками, имеющими одноименные заряды. Каким будет напряжение на зажимах полученной батареи?

Решение. У последовательно соединенных конденсаторов заряды на обкладках равны по модулю Q₁ = Q₂ = Q и заряд батареи равен заряду одного конденсатора. Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов определяется по формуле: . Для батареи из двух конденсаторов: , а их заряд: . (1)

При отключении конденсаторов их заряд сохраняется. У параллельно соединенных конденсаторов заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов Q' = Q₁ + Q₂, а емкость сумме емкостей: . Напряжение на зажимах батареи из двух параллельно соединенных конденсаторов: . (2)

Подставляя (1) в (2), получаем: , В.

Ответ: В.

6. Заряд конденсатора 1 мкКл, площадь пластин 100 см², зазор между пластинками заполнен слюдой. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора и силу притяжения пластин.

Решение. Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора: , (1)

где Е – напряженность поля конденсатора; S – площадь обкладок конденсатора; ε – диэлектрическая проницаемость слюды; ε₀ – электрическая постоянная. Напряженность однородного поля плоского конденсатора: , (2)

где – поверхностная плотность заряда. Подставляя (2) в (1), получаем: , Н. Объемная плотность энергии электрического поля: . (3)

Подставляя (2) в (3), получаем: , Дж/м³.

Ответ: Н, Дж/м³.

7. В медном проводнике сечением 6 мм и длиной 5 м течет ток. За 1 мин в проводнике выделяется 18 Дж теплоты. Определить напряженность поля, плотность и силу электрического тока в проводнике.

Решение. Для решения задачи используем законы Ома и Джоуля-Ленца. Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид: , (1)

где j – плотность тока; Е – напряженность поля; γ – удельная проводимость. Закон Джоуля-Ленца: , (2)

здесь I – сила тока, t – время. – сопротивление проводника, где r, l, S – удельное сопротивление, длина и площадь поперечного сечения проводника соответственно. Силу тока находим из (2): , А. По определению, плотность тока равна: , А/м². Напряженность поля в проводнике определим из (1), учитывая, что . , В/м.

Ответ: А, А/м², В/м.

8. Внутреннее сопротивление аккумулятора 2 Ом. При замыкании его одним резистором сила тока равна 4 А, при замыкании другим – 2 А. Во внешней цепи в обоих случаях выделяется одинаковая мощность. Определить электродвижущую силу аккумулятора и внешние сопротивления.

Решение. Закон Ома для замкнутой (полной) цепи имеет вид:

, , (1)

где r – внутреннее сопротивление источника тока; ξ – э.д.с. аккумулятора; R₁ и R₂ – внешние сопротивления цепей. Уравнения (1) представим в виде:

, . (2)

Из равенства (2) следует, что:

. (3)

Мощность, выделяемая во внешней цепи в первом и втором случаях, cоответственно равна: и . Из условия равенства мощностей следует, что:

. (4)

Решая совместно уравнения (3) и (4), получаем:

и . (5)

Подставляя (5) в (2), получаем: , В, Ом, Ом.

Ответ: В, Ом, Ом.

9. Электродвижущая сила батареи равна 20 В. Коэффициент полезного действия батареи составляет 0,8 при силе тока 4 А. Чему равно внутреннее сопротивление батареи?

Решение. Коэффициент полезного действия источника тока η равен отношению падения напряжения во внешней цепи к его электродвижущей силе: , откуда . Используя выражение закона Ома для замкнутой цепи , получаем . Тогда и Ом.

Ответ: Ом.

10. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном направлении текут токи и силой по 5 А. Между проводниками на расстоянии 30 см от первого расположен кольцевой проводник с током силой 5 А. Радиус кольца 20 см. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, создаваемого токами в центре кольцевого проводника.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего магнитного поля в точке А равна: , где и – индукции полей, создаваемых соответственно токами и , направленными за плоскость рисунка; – индукция поля, создаваемая кольцевым током. Векторы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому их сумма равна по модулю: . Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током: и . Тогда . Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током: , где r₃ – радиус кольца. Векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому: или , мкТл. Напряженность магнитного поля: и А/м.

Ответ: мкТл, А/м.

11. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01 Тл. Определить радиус траектории электрона.

Решение. В магнитном поле на электрон, движущийся со скоростью перпендикулярно , действует сила Лоренца: , которая обусловливает центростремительное ускорение электрона при его движении по окружности: , где m – масса электрона; е – его заряд; r – радиус траектории его движения. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U, электрон приобретает кинетическую энергию, равную работе А сил электрического поля: . Отсюда находим скорость электрона: . Зная ее, найдем радиус траектории: и м.

Ответ: м.

12. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1 А. Зависимость B = f(H) для материала сердечника приведена на рис. 3. Определить напряженность и индукцию поля в соленоиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соленоида, энергию и объемную плотность энергии поля соленоида.

Решение. Поле внутри соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля: , где – сила тока в обмотке; число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Тогда: и 300А/м. По графику В = f(H) находим, что напряженности 3000 А/м соответствует индукция 1,7 Тл. Используя связь между индукцией и напряженностью: , определим магнитную проницаемость: и . Индуктивность соленоида: , где l – длина, – площадь поперечного сечения соленоида. Получаем: . Объемная плотность энергии магнитного поля: и Дж/м³. Энергия магнитного поля соленоида: и Дж.

Ответ: В =1,7 Тл, Тл. 3000 А/м, , Дж/м³, Дж.

13. На соленоид (см. условие и решение задачи 12) надето изолированное кольцо того же диаметра. Определить электродвижущую силу индукции в кольце и электродвижущую силу самоиндукции в соленоиде, если за 0,01 с ток в его обмотке равномерно снижается до нуля.

Решение. По условию за время ∆t = 0,01 с сила тока в обмотке соленоида равномерно уменьшается от 0,1 А до нуля, поэтому магнитный поток, пронизывающий площадь кольца , уменьшается от до . Электродвижущая сила индукции, возникающая в кольце: и B. Электродвижущая сила самоиндукции ξ_S , возникающая в соленоиде при выключении тока в нем: . Так как при выключении сила тока уменьшается до нуля равномерно, то: . Тогда: и В.

Ответ: B, В.

14. Виток радиусом 5 см с током 1 А помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60° с направлением поля. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

Решение. Работа А при повороте витка с током в магнитном поле: . Здесь – изменение магнитного потока сквозь площадь витка ; – магнитный поток, пронизывающий виток в начальном положении, где α – угол между векторами и . Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое, при котором направление нормали к нему совпадает с вектором индукции, т. е. . Следовательно, . Таким образом, . Учитывая, что , имеем: . Окончательно имеем: и Дж.

Ответ: Дж.