Уравнение предельного равновесия для сыпучих и связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М (рис. 4.4, а) для любой площадки mn, проведенной через эту точку пол углом α, возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности; суммарно оцениваемые давлением связности ре. Тогда на площадку mn (рис. 4.4, а) будут действовать нормальное напряжение σ_α + р_е и касательное τ_α.

Рис. 4.4. Круги предельных напряжений: а – схема напряжений в данной точке; кривые сдвига для сыпучих (б) и связных (в) грунтов

При изменении угла α величины составляющих напряжений также будут меняться, и если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по другой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в данной точке будет

или

Если f — величина постоянная, то в предельном состоянии она представляет собой тангенс угла наклона прямолинейной огибающей кругов предельных напряжений (рис. 4.4, б,в).

С другой стороны, согласно рис. 4.4, а

Это отношение равно тангенсу угла отклонения Θ, т. е. угла, на который отклоняется полное напряжение для площадки σ от нормали к этой площадке.

Так как через заданную точку можно провести множество площадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную площадку, для которой будет существовать максимальный угол отклонения Θ_max. Тогда

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (рис. 4.4, б) максимальное значение угла отклонения Θ_max будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Из геометрических соотношений вытекает, что поставленному условию удовлетворяет равенство:

где σ₁ и σ₂ —главные напряжения; φ — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грунтов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

или

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак минус (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак плюс – пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения σ₁ и σ₂ через составляющие напряжения σ_z, σ_y и τ_zy (для плоской задачи). Тогда будем иметь выражение:

Для связных грунтов, подобно предыдущему, пользуясь кривой предельных напряжений (рис. 4.4,в), получим условие предельного равновесия в виде

откуда

(2.25)

а так как

где с—сцепление грунта, определяемое как начальный параметр огибающей кругов предельных напряжений, то уравнение (2.25) может быть представлено в виде

Последняя формула широко используется в задачах теории предельного равновесия.

Условие предельного равновесия в составляющих напряжениях σ_z, σ_y и τ_zy для связных грунтов имеет следующий вид:

Отметим, что круг предельных напряжений дает возможность определить направления площадок скольжения для любой заданной точки.

Если соединить точку касания предельной прямой ОЕ (рис. 4.4, в) с концом отрезка, изображающего в масштабе σ₂ (точка А), то направление ЕА определит направление площадки скольжения. По рис. 4.4, в

откуда

Таким образом, в условиях предельного равновесия площадки скольжения будут наклонены под углом ±( 45°+ φ/2)к направлению площадки наибольшего главного напряжения, или, что то же самое, под углом ±(45°—φ/2) к направлению главного напряжения σ₁.