TERMINATE 2 страница

Вопросы по теме.

1. В чем смысл интегрированной системы моделей.

2. Поясните общие принципы построения интегрированной системы моделей

3. Поясните специфические принципы построения интегрированной системы моделей.

4. Представьте совокупность моделей для предприятия.

5. Представьте совокупность моделей для системы управления ВУЗом.

1.5 Сущность оптимизации социально-экономических ссистем

Среди экономико-математических моделей особая роль принадлежит оптимизационным моделям.

Оптимизация экономических систем – комплекс методов, которые позволяют выбрать из многих возможных вариантов использования ресурсов один – с точки зрения получения наилучших результатов с наименьшими затратами.

Различают понятия: оптимизация планирования, оптимизация управления, оптимизация функционирования экономической системы.

Оптимизация планирования может рассматриваться как комплекс методов, которые позволяют из многих вариантов плана (программ) выбрать один оптимальный вариант.

Оптимизация управления предполагает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее (с точки зрения заданного критерия) поведение системы и ее движение к цели по оптимальной траектории.

Оптимизация функционирования экономической системы подразумевает такой режим ее функционирования, при котором все ресурсы общества используются наиболее полно и эффективно в целях удовлетворения потребностей всех членов этого общества. Существует так называемая теория системы оптимального функционирования экономики. В нашей стране была разработана советскими учеными–математиками теория оптимального функционирования социалистической экономики, многие положения которой являются общепризнанными: учет ограниченности ресурсов при принятии решений, стоимостная оценка природных ресурсов и т.д.

Оптимизация социально-экономических систем сводится к выбору такого планово-управленческого решения, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия функционирования экономической системы.

Постановка задач оптимизации возможна при условии выделения определенных предпосылок в отношении характера анализируемых экономических процессов.

В качестве важнейшей предпосылки выделяется наличие единого критерия оптимальности качества экономических решений, который может быть количественно измерен. При этом критерий оптимальности рассматривается как показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего из них.

Выделяют глобальные и локальные критерии оптимальности. Если глобальные критерии отражают общую цель развития экономики, то локальные критерии используются при постановке задач на уровне отрасли, предприятия

В теории оптимизации на уровне народного хозяйства разработаны две основные постановки задачи, в соответствии с которой выделяют две разновидности глобальных критериев:

Во-первых, в качестве глобальной критерия рассматривается максимизация целевой функции благосостояния, которая характеризует качество жизни членов общества и выражается в следующих показателях: максимум валового внутреннего продукта, максимум национального дохода на душу населения, максимум выпуска благ в заданном ассортименте, максимизация темпов экономического развития, минимум совокупных затрат общественного труда и др.

В качестве второй разновидности глобальных критериев выступает минимизация срока достижения определенных целей (например, достижения идеального состояния экономики, при котором полностью удовлетворяются потребности всех членов общества).

Локальные критерии должны быть подчинены глобальному критерию, в качестве локальных критериев используются такие, как максимум прибыли, минимум затрат, максимум выпуска продукции в стоимостном выражении и др.

В качестве второй предпосылки в отношении характера анализируемых экономических систем, при условии выделения которой возможна постановка задач оптимизации, выделяют признание ограниченности средств достижения целей. При этом выделяют общеэкономические и правовые ограничения, а также ограничения при использовании ресурсов.

Так, общеэкономические и правовые ограничения устанавливаются для отдельных промышленных предприятий структурой развития народного хозяйства через конъюнктуру рынка, законодательные акты по налогообложению и по охране окружающей среды, международный валютный курс и т.д. Ограничения же при использовании ресурсов по сути связаны с уровнем научных знаний, степенью развития техники и производительностью, вследствие которых в каждый данный момент времени мы имеем доступ к ограниченному количеству ресурсов, следовательно должны производить ограниченное количество продукции.

Ограниченность ресурсов рассматривается по двум аспектам: абсолютная ограниченность невоспроизводимых природных ресурсов и относительная ограниченность воспроизводимых ресурсов, которая связана с опережением темпов роста потребностей над темпами роста производства соответствующей продукции (работ, услуг).

И, наконец, третья предпосылка в отношении характера анализируемых экономических процессов, при условии выделения которой возможна постановка задач оптимизации, – наличие взаимозаменяемости ресурсов и многовариантности их использования для достижения одних и тех же целей.

При этом в качестве основных факторов, порождающих многовариантность, выступают научно – технический прогресс, который создает новые ресурсы и новые возможности использования старых ресурсов, а также объективная возможность распределения и использования ресурсов в пространстве и во времени.

Вопросы по теме.

1. Поясните сущность оптимизации социально-экономических объектов.

2. Понятие локального и глобального критерия оптимизации.

3. Перечислите важнейшие предпосылки постановки задачи оптимизации экономических явлений и процессов.

4. Какие оптимизационные модели могут быть поставлены на уровне предприятия, цеха, участка.

5. Какие ограничения должны быть учтены в моделях, предложенных в 5-ом вопросе.

1.6 Общая структура оптимизационной модели и система обозначений.

Основными элементами оптимизационной модели являются параметры и переменные. При этом параметры (исходные данные) – заранее известные фиксированные факторы, на значения которых исследователь не влияет, а значения переменных на момент постановки задачи неизвестны, изменение значений переменных приближает к достижению поставленной цели и получению решений задачи.

Указанные элементы оптимизационной модели связаны математическими зависимостями в виде составных частей оптимизационной модели, в качестве которых выступают критерий оптимальности и система ограничений. С точки зрения структуры оптимизационной модели критерий оптимальности – это показатель, на основании которого сравнивают эффективность управленческих решений в процессе выбора наилучшего из них. Формализованное или математическое выражение критерия оптимальности называется целевой функцией. Система ограничений составляется в виде уравнений (неравенств) и определяет область допустимых решений, то есть область, в пределах которой осуществляется выбор решений.

Построение экономико-математической модели оптимизационной задачи включает:

выбор некоторого числа переменных величин (экономических показателей) для формализации модели объекта;

информационную базу данных объекта;

выражение целевой функции как математическое представление критерия оптимальности через отобранные экономические показатели, с обозначением экстремума целевой функции (максимум или минимум);

представление системы ограничений математически в виде уравнений, неравенств через другие экономические показатели.

Необходимо отметить, что одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.

Методика построения экономико-математических моделей состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. В первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые для конкретной задачи могут обозначать искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза определенным потребителям и т.д. Как правило, для обозначения переменных величин используются буквы: x, y, z, а также их модификации. Например, модификации переменной x: x₁, x₂, x_n и т.д.

Переменные x1, x2, …., xn могут обозначать объемы производства продукции соответственно первого, второго и так далее n-го вида. Переменная может обозначать объемы производства j-го вида продукции на i-ом виде оборудования по s-му технологическому способу.

Для индексации, как правило, используются латинские буквы: i, j, s, l. Количество значений переменных может обозначаться буквами n, k, m. По каждой переменной для конкретной задачи дается словесное пояснение.

Целевую функцию задачи чаще обозначают буквами f, F, Z. Постоянные величины (нормы затрат ресурсов, цена или прибыль от единицы продукции и др.) обычно обозначают буквами: a, b, c, d и т.д.

Математическую модель задачи можно представить в виде:

найти значения переменных x₁, x₂,…., x_n, которые максимизируют или минимизируют целевую функцию

(1.1)

и удовлетворяют системе из m ограничений

. (1.2)

Если на переменные накладываются условие неотрицательности, тогда в модель задачи вводится условие

. (1.3)

Иногда на переменные налагается условие целочисленности, тогда его можно записать в виде

x_j = 0, или 1, или 2, или 3 и т.д.

Если ограничения (1.2) и целевая функция (1.1) линейны относительно переменных, то модель называется линейной. В случае если хотя бы одна из функций (1.2) или Z нелинейна, то модель называется нелинейной.

Модель общей задачи линейного программирования применяют для решения задач определения оптимального плана выпуска продукции, оптимального использования производственных мощностей, сырья и других задач. В каждой из них отыскивается оптимум целевой функции при линейных ограничениях.

Задачи оптимизации решаются путём применения оптимизационных моделей методами линейного программирования.

Вопросы по теме.

1. Различие между параметрами и переменными в оптимизационной модели.

2. Назовите составные части оптимизационной модели.

3. В чем различие между понятиями критерий оптимальности и целевая функция.

4. Представьте запись общей модели оптимизационной задачи.

5. Приведите пример, подтверждающий, что одной системе ограничений может соответствовать несколько критериев оптимальности.

1.7 Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования.

Родоначальником экономико-математического моделирования является Франсуа Кэне (1694-1774), который впервые использовал балансовый метод для имитации динамики внешней торговли и создания первой в мире модели народного хозяйства. В 1758г. был опубликован первый вариант «экономической таблицы», которая представляла собой схему процесса расширенного воспроизводства. Однако модели Кэне носили чисто количественный характер и были эффективны для анализа, а не для принятия решений, внутренняя природа явлений автором не рассматривалась.

В дальнейшем идеи Кэне получили свое развитие в 2-х самостоятельных экономических концепциях:

· концепция экономико-математического моделирования хозяйственных процессов при помощи межотраслевого баланса;

· получила развитие теория, связанная с дифференциацией экономических систем на производство средств производства и предметов потребления, а также в трендовом моделировании рынка средств производства.

Рассмотрим вклад известных ученых-экономистов в развитие школы экономико-математического моделирования.

Леон Вильрас (1874-1877гг) впервые в чистом виде применил математику для описания экономических процессов. Однако он не учитывал объективность законов хозяйственного развития, опираясь исключительно на арифметический подход. Как следствие – многие его модели оказались невостребованными.

Вильфред Паретто (1848-1923гг.) впервые применил теорию вероятности для моделирования экономических процессов; разработал ряд статистических моделей соотношения доходов разных групп населения. Основное достоинство этих моделей состоит в том, что они носили оптимизационный характер, т.е. при помощи последовательности расчетов можно определить состояние и соотношение доходов, при котором состояние хозяйственной системы будет оптимальным. В экономической науке широко используется термин «оптимум по Паретто», который означает сглаживание уровней доходов для уменьшения разрыва между наиболее высокооплачиваемой частью и наименее низкооплачиваемой частью населения.

Альфред Маршалл (1842-1924гг.) впервые использовал графические модели для объяснения природы экономических процессов.

Джон Мейнар Кейнс (1883-1943гг.) на основе использования экономико-математических моделей пришел к выводу о возможности выявления основных сфер, инструментов управления экономической системой и достижения экономикой оптимального состояния с помощью государственного регулирования. Он разработал экономико-математическую модель функционирования экономики в условиях полной занятости. Этот подход состоял в основе экономической политики государств почти до 70-х годов ХХ века.

Во второй половине ХХ века существовал подход, в соответствии с которым выделялись три этапа развития экономико-математического моделирования: математическая школа; статистическое направление; эконометрика[1].

Существенный вклад в развитие школы экономико-математического моделирования внесли отечественные ученые.

С конца 19 века оригинальные экономико-математические исследования проводились В.К.Дмитриевым, В.И.Борткевичем, В.В.Самсоновым, которые находились под сильным влиянием психологической школы, рассматривавшей экономические явления как результаты психологических реакций хозяйствующих субъектов.

В.К.Дмитриев (1868-1913гг.) построил модель полных затрат труда и сбалансированных цен в виде системы линейных уравнений с технологическими коэффициентами. В отличие от теоретиков западной математической школы, В.К.Дмитриев занимался и прикладными статистическими исследованиями.

Н.Д. Кондратьев (1892-1938гг.) впервые использовал функциональный метод анализа для моделирования экономических процессов. Разработанная им теория «больших конъюнктурных циклов», опубликованная в 1925-1928 гг., позволила определить влияние одних хозяйственных секторов на другие и оценить временной лаг, который необходим хозяйственным секторам для приспособления к происходящим переменам.

После революции, в 20-е годы ХХ века, в нашей стране развивались два основных направления: моделирование процесса расширенного воспроизводства и применение методов математической статистики в изучении хозяйственной конъюнктуры и в прогнозировании.

Выдающимся достижением советской статистики стала разработка первого в мире баланса народного хозяйства СССР за 1923/1924 хозяйственный год. Позднее проводились работы по совершенствованию статистических основ межотраслевого баланса.

Значительной вехой в истории экономических исследований стала разработка Г.А.Фельдманом (1884-1958гг.) математических моделей экономического роста, основанных на схемах расширенного воспроизводства К.Маркса. Основная модель роста Г.А.Фельдмана выражала взаимосвязи темпов роста национального дохода, изменения фондоотдачи и производительности труда, структуры использования национального дохода.

Другое направление экономико-математических исследований 20-х годов ХХ века было представлено многочисленными работами по анализу хозяйственной конъюнктуры, анализу временных рядов и сезонных колебаний, краткосрочным экономическим прогнозам на основе математико-статистических моделей.

Позднее, в 1938-1939 гг. Л.В.Канторович сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил методы их решения – позже эта область прикладной математики получила название «линейное программирование».

Л.В.Канторович (1912-1986гг.) не только является автором линейного программирования, он также разработал порядок его использования для решения практических задач управления. Л.В.Канторович доказал, что большинство задач оперативного планирования промышленного предприятия могут быть сведены к задачам линейного программирования; при помощи совокупности математических преобразований можно найти оптимальный вариант, который при наименьших затратах ресурсов обеспечит наибольший результат. В 1975 г. Л.В.Канторович стал лауреатом Нобелевской премии.

Выдающуюся роль в создании отечественной экономико-математической школы сыграл В.С.Немчинов (1894-1964). В 60-е годы ХХ века были разработаны важные теоретические положения: проблемы народно-хозяйственного оптимума, соизмерения затрат и результатов, закономерностей расширенного воспроизводства, структурного анализа экономической системы.

Моделирование экономических систем осуществлялось в различных областях: народно-хозяйственного моделирования, моделирования отраслей производства и территориальных систем, а также моделирования планирования и управления на предприятиях.

В настоящее время экономико-математическое моделирование является одним из приоритетных направлений развития экономического анализа на базе использования новейших достижений математических методов и вычислительной техники.

Вопросы по теме.

1. Назовите автора первой экономико-математической модели.

2. Назовите имена наиболее видных зарубежных ученых-экономистов, внесших весомый вклад в развитие экономико-математического моделирования.

3. Назовите имена наиболее видных отечественных ученых-экономистов, внесших весомый вклад в развитие экономико-математического моделирования.

4. Назовите российских экономистов, работавших в области экономико-математического моделирования, ставших лауреатами нобелевской премии.

Раздел II Экономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия.

В современных условиях выбор оптимальных вариантов планирования и управления производством представляет серьезную проблему. В рыночных условиях проявляется жесткая конкуренция товаропроизводителей внутри страны, а также усиливаются потоки товаров, услуг и капиталов из зарубежных стран. Поэтому нельзя принять обоснованные решения без переработки большого количества информации, характеризующей эффективность использования трудовых, материальных и денежных ресурсов. Такая задача может быть решена только с использованием ЭВМ и соответствующих экономико-математических моделей и методов. На уровне промышленных предприятий накоплен немалый опыт решения экономических задач, результаты которых успешно используются в целях планирования и управления. К ним относятся модели формирования производственной программы предприятия, оптимального использования производственных мощностей, оптимизации технологической подготовки производства (модели раскроя промышленных материалов, составления смесей) и др. В настоящее время мощности современных доступных ЭВМ и стандартное программное обеспечение позволяют реализовать эти модели на любом предприятии, фирме.

2.1 Экономико-математические модели составления производственной программы предприятия.

Рассмотрим методологические и методические вопросы составления портфеля заказов предприятия в применении к простым по экономическому содержанию моделям и методам.

2.1.1Пример составления экономико-математической модели задачи формирования производственной программы предприятия.

Постановка задачи: цех выпускает три вида изделий, производственные возможности цеха характеризуются следующими данными:

- суточный фонд времени работы оборудования ­ 780 часов;

- суточный расход сырья 850 тонн;

- суточный расход электроэнергии 790 квт-час.

Нормы затрат производственных ресурсов на единицу различных изделий приведены в таблице 2.1:

Таблица 2.1

Составить план производства, обеспечивающий максимальный объем выпуска продукции в стоимостном выражении.

Запись условия задачи в виде представленной таблицы 2.1 с объяснением данных является экономической моделью задачи.

Математическая модель задачи может быть представлена в следующем виде:

Пусть х1, х2 и х3 – искомые объемы выпуска 1-го, 2-го и 3-его видов изделий.

Требуется найти неотрицательные значения переменных х1, х2 и х3, обеспечивающих максимальный по стоимости выпуск продукции.

Совокупность выражений (2.1)÷(2.7) представляет собой математическую модель задачи.

Математическая модель задачи выражений состоит из критерия оптимальности (2.1) и системы ограничений (2.2)÷(2.7). В последней можно выделить ограничение неотрицательности (2.5)÷(2.7), показывающее, какие значения могут принимать переменные., а также основные ограничения (2.2)÷(2.4), указывающие, какие преобразования можно проводить с переменными. Система ограничений определяет множество допустимых значений переменных, из которых с помощью критерия оптимальности и отыскиваются наилучшие (по данному критерию) значения.

Запишем экономико-математическую модель рассмотренной задачи в общем виде, т.е. в символах.

Введем обозначения:

­ индекс ресурсов ( = 1, 2, …., );

­ индекс изделия ( = 1, 2, …., );

­ наличный объем -го ресурса;

­ норма затрат -го ресурса на производство единицы -го

изделия;

­ оптовая цена единицы изделия -го вида;

­ искомый объем производства -го изделия.

В данных обозначениях задача запишется следующим образом.

Найти значения переменных , максимизирующие целевую функцию вида

при выполнении ограничений на использование ресурсов:

и неотрицательности переменных:

Выражение (2.8) максимизирует совокупный эффект от всего объема выпущенных изделий всех видов. Выражение (2.9) означает, что для любого из ресурсов его суммарный расход на производство изделий всех видов не превосходит всего имеющегося объема (выделенного лимита). Левая часть выражения показывает используемый в оптимальном плане обьем i-го ресурса, а правая часть ­ имеющийся обьем этого же ресурса. Выражение (2.10) означает неотрицательность выпусков изделий.

Особенность экономико-математической модели (2.8)÷(2.10) состоит в том, что она справедлива для любого количества видов продукции и ресурсов, для самых разнообразных численных значений лимитов ресурсов и норм затрат ресурсов. Коэффициенты при неизвестных в целевой функции означают эффективность от выпуска единицы продукции (прибыль, цена).

Таким образом, экономико-математическая модель (2.8)÷(2.10) соответствует любой экономической задаче по отысканию максимума эффекта от выпуска продукции при ограничениях на количество используемых ресурсов (при условии линейной зависимости эффекта и использования ресурсов от объема выпуска).

Задача формирования производственной программы может быть поставлена и на минимум целевой функции. Например, необходимо

отобрать в план такие изделия, чтобы суммарные затраты на изготовление продукции были минимальными. Если принять, что ─ затраты на производство одной единицы j-го вида продукции, то простую модель с критерием оптимальности ­ минимум затрат на весь объем выпуска можно представить так:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Для модели такого вида существует простое оптимальное решение ­ все неизвестные равны нулю. Действительно, при все ограничения выполняются, т.е. решение допустимо и дает наименьшее значение критерия оптимальности, т.е. затраты равны нулю. Такое правильное математическое решение приводит к абсурдному с экономической точки зрения выводу: ничего не производить и все ресурсы останутся неиспользованными.

В этой упрощенной модели не учтена цель производства ­ получение результата в виде конечной продукции, а в процессе производства необходимо сопоставление затрат и результатов. Очевидно, необходимо ввести дополнительное ограничение, которое позволило бы не сводить к нулю затраты. В данном случае задача должна быть поставлена следующим образом: минимизация затрат при фиксированном уровне результата.

Рассмотрим экономико-математическую модель задачи на минимум затрат при фиксированных планах производства.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Но любой сверхплановый выпуск увеличит значение критерия оптимальности. Ясно, что наименьший уровень затрат возможен лишь при строгом выполнении плановых заданий, т.е. при , а значит данная модель теряет смысл, т.к. оптимальный план известен ­ он определяется набором .