TERMINATE 4 страница

(2.48)

Модель задачи поиска сверхплановой продукции по критерию максимума загрузки оборудования примет вид

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

После решения задачи значения исходных переменных могут быть получены простым суммированием: .

Введение в модель ограничений по производственной программе, как и в задаче на максимум прибыли, целесообразно лишь при существовании нескольких способов производства одноименной продукции. Тогда оптимизация становится возможной за счет выбора наилучших способов производства каждой продукции в рамках заданных фиксированных планов их выпуска:

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

2.2.2 Модели загрузки взаимозаменяемых групп оборудования.

Модели загрузки взаимозаменяемых групп оборудования в процессе оптимизации использования производственных мощностей применяются при решения задачи оптимального распределения работ по группам взаимозаменяемого оборудования для выполнения заданной производственной программы по тому или иному критерию оптимальности.

Разработку модели загрузки взаимозаменяемого оборудования рассмотрим на следующем примере.

Пример 2.1. Найти оптимальный план распределения шести заказов между четырьмя взаимозаменяемыми станками с целью достижения максимума прибыли.

Исходные данные задачи представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Полезный фонд времени работы станков составляет соответственно по станкам (в часах): 40,40, 80, 60.

Введем обозначения:

- объем выпуска -ой продукции на -ой разновидности оборудования,

C_hj- затраты в стоимостном выражении на производство - ой продукции на - той разновидности оборудования,

─ цена единицы - той продукции.

Экономико-математическая модель задачи распределения выполнения работ по станкам, обеспечив при этом максимум прибыли:

(2.58)

( ) (2.59)

( ) (2.60)

. (2.61)

Указанные задачи могут быть решены и на другие критерии оптимальности.

Отметим, что характерной особенностью задач оптимального распределения работ по группам взаимозаменяемого оборудования для выполнения заданной производственной программы является наличие ограничения по выпуску продукции. Указанное ограничение в задачах формирования оптимальной производственной программы, т.е. в моделях загрузки невзаимозаменяемого оборудования, может быть задано, однако не является обязательным.

Вопросы по теме

1. Понятие взаимозаменяемого и невзаимозаменяемого оборудования.

2. Как соотносятся модели загрузки невзаимозаменяемого оборудования и общая модель оптимизации производственной программы при ограниченных ресурсах.

3. В каких моделях загрузки оборудования обязательно наличие ограничения по выпуску продукции.

4. В модели (2.56)÷(2.59) чем является величина (экономический смысл).

5. В каких моделях может быть поставлена целевая функция на максимум загрузки оборудования.

6. Пусть в задаче п. 2.1.1 дополнительно в качестве исходных данных задан суточный план выпуска по видам продукции. Как изменится экономико-математическая модель задачи.

7. К задаче п. 2.2.1 составить модель максимизации сверхпланового выпуска продукции (по стоимости).

2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия

Важнейшей частью производственного процесса на предприятии является технологическая подготовка производства (ТПП). Содержание ТПП определяется отраслевыми особенностями предприятия. На предприятиях машиностроения в подготовительных цехах, участках осуществляется подготовка заготовок из исходного материала – нарезкой, штамповкой и др., в прядильном производстве ТПП заключается в смешивании волокон для дальнейшего изготовления пряжи, в сталелитейных предприятиях ТПП ­ это составление шихты как смеси шихтовых материалов. Во всех этих случаях стоит задача оптимизации ТПП с целью экономии материальных ресурсов при получении заданного вида заготовок или смеси с заранее определенными свойствами при минимальных затратах. К этому же типу задач мы отнесли транспортную задачу, при решении которой оптимизируется доставка груза от многочисленных поставщиков многочисленным потребителям с целью минимизации суммарных затрат на перевозки.

2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей.

В ряде производств (металлургической, пищевой, нефтеперерабатывающей отраслях промышленности) готовая продукция получается путем смешивания различных исходных компонентов (сырья), при этом качество готовой продукции должно соответствовать определенным требованиям при достижении максимального экономического эффекта.

Проблема рационального использования сырья в этих случаях может быть решена путем применения экономико-математических моделей оптимального составления смесей.

Как правило, исходные компоненты смеси взаимозаменяемы по содержанию качественных характеристик. При этом важно обеспечить соответствие готовой продукции по указанным качественным характеристикам необходимым требованиям, которые определяются стандартами и сертификатами.

Модель задачи позволяет найти такой набор компонентов смесей и их количественное соотношение, которое удовлетворяет заданным технологическим требованиям по качеству, а также требованиям принятого критерия (минимальной себестоимости или максимальной прибыли).

Задача смешивания может быть рассмотрена в натуральных единицах или в долях.

Рассмотрим задачу определения количества сырья, необходимого для получения смеси заданного объема.

На предприятии изготавливается бензин А-76, в котором содержание серы не более 0,3%, а октановое число должно быть не ниже 76.

Данные об используемых компонентах (видах сырья ─ нефтепродуктах) приведены в таблице 2.3. Требуется определить, сколько тонн каждого компонента нужно взять для получения 1000 т бензина А-76, чтобы при этом себестоимость бензина была минимальной.

Таблица 2.3

Пусть ─ оптимальные количества соответствующих компонентов, входящих в состав готовой смеси.

Математическая модель задачи представлена в (2.62)÷(2.67):

целевая функция:

(2.62)

ограничение по октановому числу:

; (2.63)

ограничение по содержанию серы:

; (2.64)

ограничение по объему готовой продукции:

; (2.65)

ограничение по имеющимся ресурсам:

(2.66)

условие неотрицательности переменных:

(2.67)

В общем виде задача формализуется следующим образом:

– индекс качественной характеристики; имеет отношение к исходным видам сырья, материалов и к готовой продукции ( );

- индекс исходных компонентов смеси ( );

─ имеющийся объем -ой компоненты (сырья);

- содержание -той качественной характеристики в единице -го исходного компонента;

- содержание -той качественной характеристики в единице готовой смеси; для качественных характеристик, ухудшающих качество продукции, задается верхняя граница содержания той или иной качественной характеристики, а для качественных характеристик, улучшающих качество продукции, задается нижняя граница содержания той или иной качественной характеристики;

─ имеющийся ресурс -ой компоненты;

- цена единицы - ой исходной компоненты (включая расходы на переработку);

- количество - ой исходной компоненты, которое входит в готовую смесь.

─ общее количество готовой продукции, которое следует изготовить по плану.

Формализованная модель задачи оптимизации состава требуемого объема смеси представлена в (2.68) ÷ (2.72)

Целевая функция:

(2.68)

ограничения, ухудшающие качества:

(2.69)

ограничения, улучшающие качества:

(2.70)

ограничение по плану производства продукции:

(2.71)

ограничение по ресурсам:

(2.72)

Вторая разновидность смесевых задач касается оптимизации структуры готовой продукции, безотносительно к объемам. Рассмотрим пример такой задачи.

Пример 2.2. Пусть требуется изготовить некоторую единицу объема сплава, содержащего не менее 4% никеля, не более 75% железа и 20% прочих веществ. Известна стоимость различных видов сырья и процентное содержание в них соответствующих элементов (табл. 2.4)

Таблица 2.4

Определить оптимальную структуру сплава, при которой стоимость единицы сплава будет минимальной.

Математическая модель задачи:

(2.73)

; (2.74)

; (2.75)

(2.76)

; (2.77)

(2.78)

Экономико-математическая модель этой задачи будет включать выражения:

целевая функция:

(2.79)

ограничения на качество смеси:

(2.80)

(2.81)

ограничение по формированию структуры смеси:

. (2.82)

неотрицательность переменных:

. (2.83)

В данной задаче минимизируется стоимость единицы (кг, т и т.д.) смеси. Очевидно, что при любых объемах переработки сырья и выпуска готовой продукции, оптимальному плану будет соответствовать одна и та же структура смеси, т.е. соотношение в ней отдельных составных частей ­ видов сырья.

Модели общего вида применяются при решении “задач о диете” – а именно задач составления оптимальных кормовых рационов, задач составления смесей минеральных удобрений, задач составления смесей нескольких химических веществ.

Более сложные модели задач смешивания составляются в тех случаях, когда в результате смешивания одних и тех же исходных компонентов могут быть получены различные виды готовой продукции. Тогда наряду с ограничениями по исходным компонентам задаются объемные ограничения по выпуску готовой продукции. Типичным примером таких моделей является модель смешивания нефтепродуктов. Рассмотрим пример постановки задачи смешивания нефтепродуктов.

Для получения готовых бензинов на установку поступают различные исходные компоненты (нефтепродукты). Оптимальный план позволяет определить, в каких количествах должны смешиваться различные исходные компоненты, чтобы различные сорта бензина (готовой продукции) выпускались в соответствии с планом и заданными по стандарту качественными характеристиками при обеспечении рентабельной работы установки.

Введем обозначения:

- индекс качественной характеристики, применяется по отношению к исходным нефтепродуктам и к сортам бензина;

- индекс исходного нефтепродукта;

k –индекс вида готового бензина, ;

- ограниченное количество j-го вида исходного нефтепродукта;

B_k – плановое задание по выпуску бензина k-го сорта,

h_ij – содержание i – той качественной характеристики в единице j – го исходного нефтепродукта;

H_ik – содержание i - той качественной характеристики в бензине k- го вида;

C_j – цена исходного j- го нефтепродукта;

– цена бензина k - го вида.

Требуется определить X_jk – количество j–го вида исходного нефтепродукта, направляемое на получение k- го вида бензина.

Модель задачи представлена в выражениях (2.84)÷(2.88):

(2.84)

по объему ресурсов: ( ), (2.85)

по выпуску продукции: ( ), (2.86)

по качественным характеристикам:

( ; ) (2.87)

( ; ). (2.88)

Все сформулированные смесевые задачи решаются методами линейного программирования.

2.3.2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов

В промышленном производстве в процессе подготовки производства часто различные исходные материалы подвергаются разрезке на заготовки меньших размеров. Материалы могут быть в виде прутков, труб, листов. Раскрой материалов (из металла, картона, бумаги, фанеры, древесины и т.п.) может производиться где угодно: в заготовительных участках цехов предприятий, мастерских и других производствах. В процессе раскроя неизбежны отходы из-за некратности размеров заготовки размерам исходного материала; по этой причине имеются значительные потери материалов в виде отходов.

Свести отходы к минимуму позволяет применение принципов линейного программирования в виде планирования "совместных раскроев".

Совместный раскрой предполагает, что заранее разрабатывается ряд возможных вариантов разрезки материала определенного размера на произвольные комбинации различных заготовок. Каждый такой вариант характеризуется различным составом заготовок, выкраиваемых из единицы материала, и разной величиной отходов. В этих вариантах не учтено условие комплектности. Для удовлетворения требования комплектности уровни возможного использования этих вариантов принимаются за переменные, а затем методами линейного программирования решается задача с учетом условия комплектности заготовок. Рассмотрим типовую задачу на оптимизацию раскроя.

Пример 2.3.Снабженческо-сбытовая фирма получает от поставщиков прутки стального проката длиной 600см. Согласно заявкам потребителей, требуются заготовки трех видов в следующих количествах: 150 тыс.шт. длиной 250см., 140 тыс.шт. длиной 190см. и 48 тыс.шт. длиной 100см. Сформулируем модель задачи оптимального раскроя с минимумом отходов. Наиболее трудоемкий этап в процессе построения модели рассматриваемой задачи заключается в определении всех возможных вариантов раскроя. В таблице 2.5 перечислены варианты раскроя одного прутка и размер отхода, полученного при раскрое одного прутка по каждому варианту (в см):

Таблица 2.5

Пусть x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇ ­ количество прутков, раскраиваемых по каждому варианту. Ниже приведена математическая модель задачи в виде выражений (2.89)÷(2.93):

целевая функция на минимум отходов:

, (2.89)

ограничения по условиям комплектности

(2.90)

(2.91)

(2.92)

условие неотрицательности

х_i ³ 0; (2.93)

Для построения экономико-математической модели задачи примем следующие обозначения:

i – индекс вида заготовки ( );

j – индекс варианта раскроя ( );

A_i- требуемое количество заготовок i – го вида, необходимое для комплектности;

a_ij – количество заготовок i-го вида при раскрое единицы исходного материала по j-му варианту;

c_j –длина отхода при раскрое по j-му варианту.

Требуется определить x_j – количество прутков, раскраиваемых по j-му варианту. Формализованный вид экономико-математической модели представлен выражениями (2.94)÷(2.97):

целевая функция по критерию минимум отходов имеет вид:

, (2.94)

а по критерию минимума раскраиваемых единиц исходного материала

(2.95)

при условиях:

( ); (2.96)

. (2.97)

Получилась обычная задача линейного программирования, которую можно дополнить требованием целочисленности величины x_j . Во многих случаях, решения задач с обеими указанными целевыми функциями совпадают.

При определении возможных вариантов раскроя необходимо учитывать ряд условий: пусть L ─ длина раскраиваемого материала, а l_i ─ длина заготовки i-го вида, тогда признак полноценности варианта раскроя представлен соотношением (2.98):

(2.98)

а длина отхода для любого варианта раскроя должна быть меньше длины самой короткой заготовки:

(2.99)

Рассмотренная задача предусматривает раскрой длинномерных материалов (прутков, труб, профильного проката и др.). На практике приходится вести раскрой как рулонного, так и листового материала.

Для экономико-математической модели задачи раскроя рулонного материала изменится экономический смысл ряда обозначений:

a_ij ─ количество полос i-го размера, раскраиваемых из рулона по j-му

варианту раскроя;

c_j ─ размер краевого отхода при раскрое рулона по j-му варианту;

A_i ─ общее количество полос i-го размера, которое нужно получить при раскрое.

Решения задач оптимизации промышленных смесей и раскроя, представленных моделями (2.68÷ 2.72), (2.79÷2.83) и (2.94÷ 2.97) производится по программе алгоритма симплексного метода.

Вопросы по теме

1. Виды моделей оптимизации состава промышленных смесей.

2. Понятие плана совместного раскроя.

3. Как удовлетворяется требование комплектности раскраиваемых материалов.

4. Приведите выражения, отражающие условия.

5. Составьте модель задачи раскроя листового материала.

2.3.3 Транспортная задача

Одной из часто решаемых задач хозяйственного управления является задача по разработке рационального плана транспортных перевозок. Основная цель оптимизации организации перевозок ­ минимизация затрат на их выполнение. В экономико-математическом моделировании эта задача получила название транспортной задачи (или задачей оптимизации прикрепления потребителей к поставщикам). Транспортные задачи нашли широкое применение при решении оптимизационных моделей регионального и межотраслевого регулирования, оптимизации размеров и размещения производств, которые рассматриваются в Разделе 4.2.