Задания к теме 7.

• Задача 10.

Компания производит полки для ванных комнат двух типов - А и В. Агенты по продаже считают, что за неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м² материала, типа В - 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м² материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В - 4 долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

· Задача 11.

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и Сиспользует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство одной тонны карамели приведены в таблице. В ней же указанообщее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1т. карамели соответствующего вида.

Найти оптимальное сочетание объемов производства карамели (по видам), обеспечивающее максимальную прибыль от ее реализации.

· Задача 12.

Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из трех продуктов — сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат питательные вещества — белок, кальций и витамины. Численные данные представлены в таблице. В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция составляют не менее 200 и 210 г, соответственно. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.

Составить самый дешевый рацион, если стоимость 1 кг сена, силоса и концентрата составляет, соответственно, 1,5, 2 и 6 рублей.

· Задача 13.

Определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, будем называть нормой расхода. Нормы расхода, прибыль, получаемую от реализации единицы каждого типа продукции и наличие располагаемого ресурса приведены в таблице.

Составить математическую модель и решить задачу.

· Задача 14.

Цех производит N видов продукции. Для производства всех видов продукции используется M видов исходных материалов. Расход каждого вида сырья на производство каждого вида продукции известен. Также известны суточные запасы сырья, максимальный суточный спрос на изготовляемую продукцию, стоимость сырья и цены на продукцию. Сколько и какой продукции следует производить, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальной?

Исходные данные для задачи о планировании производства.

· Задача 15.

Была предложена следующая простая модель сельскохозяйственного производства на Нарвских островах для внешнего рынка. Имеются три основные культуры, растущие в этом климате, и выращиваться они могут на одном из двух типов пахотных земель. В настоящее время для обработки пригодны 1400000 акров земли типа I и 1200000 акров земли типа II. Разные типы культур по-разному растут на разных землях, и подсчитано, что чистый урожай культуры I с земли типа J составляет R_ij

Все культуры требуют дополнительного орошения (ирригационного). Имеющаяся ирригационная система обеспечивает 5600000 м³ воды в год. Для одного акра культуры i, выращенной на земле типа j, требуется W_ij м³ воды в год:

Население, занятое в сельском хозяйстве, составляет 700000 человек. Чтобы получить урожаи 1, 2, 3 с каждых 10 акров земли, для выполнения различных работ по вы­ращиванию культур в течение 1 года требуется, соответственно, 2, 1 и 3 человека.

Определите, какие культуры, в каком количестве и на каких землях необходимо выращивать, чтобы получить максимальный урожай? Каков размер максимального урожая?

· Задача 16.

Предположим, что в Портленде, Сиэтле и Сан-Диего находятся три консервных завода. Эти консервные заводы могут производить, соответственно» 250, 500 и 750 ящиков консервов в день. Для реализации продукции в стране имеется пять складов оптовой торговли: в Нью-Йорке, Чикаго, Канзас-Сити, Далласе и Сан-Франциско. Каждый склад может продать 300 ящиков за день. Специалист, занятый распределением продукции, хочет определить число ящиков, которое дол­жно быть доставлено от трех консервных заводов к пяти сбытовым складам так, чтобы каждый склад смог бы получить столько ящиков, сколько может продать ежедневно, а полные транспортные издержки были бы минимальными. В таблице указана стоимость транспорти­ровки каждого ящика (долл.).

· Задача 17.

Компания имеет 3 оптовых базы и 7 точек розничной торговли. Склады могут поставлять 100000, 120000 и 135000 единиц товара ежемесячно. Месячный объем реализации составляет 45000, 62000, 39000, 82000, 43000, 35000 и 49000 единиц. Стоимость перевозки единицы товара до 1 августа указана в таблице. С 1 августа маршруты (база 1 – точка 3) и (база 1 – точка 5) были изменены из-за дорожных работ. Стоимость провоза увеличилась на 5% и 7% соответственно. Определите оптимальный план транспортировки товара с баз в торговые точки до и после указанной даты, а также увеличение общих затрат.

· Задача 18.

Фирма предложила владельцам трех авиалиний перевозить бригады специалистов в различные части света. Стоимость перевозок в фунтах стерлингов приведена в таблице:

Администрация фирмы решила, что индивидуальные контракты на перевозку будут заключаться с владельцами линий 1, 2, 3 в отношении 2:3:2, и уведомила о1 этом управляющего транспортными перевозками, атак же известила его о том, что из 70 намеченных на следующий год перевозок 10 — в Сидней, 15 — в Калькутту, 20 -в Бейрут, 10 — в Даллас и 15 — в Сан-Паулу.

Как ему следует распределить индивидуальные контракты на перевозки для минимизации общей стоимости при условии удовлетворения запросов администрации фирмы? Какова минимальная стоимость перевозок удовлетворяющих приведенным выше ограничениям?

· Задача19.

На участок строящейся дороги необходимо вывезти 20000 м³ каменных материалов. В районе строительства имеются три карьера с запасами
8000 м³, 9000 м³, 10000 м³. для погрузки материалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250 м³ в смену в карьерах 1 и 2 и 500 м³ в смену в карьере 3. Эти карьеры обеспечивают каменными материалами также ряд других строящихся объектов. На погрузку материалов для рассматриваемого участка выделен для экскаваторов лимит 60 машино-смен с правом использования его по усмотрению строителей. Транспортные затраты на перевозку материалов характеризуются следующими показателями: для перевозки 10000 м³ материалов из карьера 1 требуется 1000 автомобиле-смен, из карьера 2 – 1350, из карьера 3 – 1700. Найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

· Задача20.

Транспортные затраты на перевозку одной машины с песком с карьеров на заводы, а также ежедневные заказы заводов и запасы карьеров приведены в таблице.

Найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

· Задача21.

Пять человек с номерами Ml, М2, ..., М5 способны выполнить пять заданий с номерами Т1, Т2, ..., Т5. В силу разной квалификации на выполнение этих заданий им потребуется различное время. Как следует распределить людей по заданиям, чтобы минимизировать время выполнения? Время выполнения (в часах ) приведено таблице.

· Задача22.

В городе А намечено провести городскую олимпиаду по математике среди школьников, причем отдельно по семи разделам. Для этого каждая школа должна представить на олимпиаду по 7 учащихся для участия по одному учащемуся в каждом разделе. Школа N определила 7 учащихся в команду, причем известно, что каждый из семи учащихся может за отпущенное время решить правильно следующее количество задач:

Определите, кто и в каком разделе олимпиады должен участвовать.

· Задача23.

Фирма, занимающаяся продажей компьютеров и компьютерной периферии, имеет 10 специалистов по маркетингу и 10 техников, которых надо объединить в пары (техник – менеджер по маркетингу), образовав команду по продаже оборудования, необходимое конкретному клиенту. Менеджер по работе с персоналом провёл среди них специальное тестирование и определил индекс взаимной несовместимости между I-ым техником и j-ым маркетологом. Индекс меняется от 20 (выраженная враждебность) до 1 (дружеские отношения). Результаты представлены в таблице индексов несовместимости:

Составить пары так, чтобы общая эффективность работы всей команды была наибольшей.

· Задача24.

На новогоднем вечере будет проведен конкурс среди танцевальных пар. Девять юношей и шесть девушек давно знакомы друг с другом и знают, кто с кем и как танцует. Качество исполнения танцев парами по пятибалльной системе в различных сочетаниях партнеров оценивается так, как это показано в таблице:

Определить оптимальное сочетание пар.

· Задача25.

Необходимо найти оптимальный план развития трех металлургических предприятий для удовлетворения потребностей района в сортовом прокате. Потребность в прокате задана в динамике (на 1990, 1995 и 2000 гг.). Разработаны три варианта развития 1 и по дна варианта для 11 и 111 предприятий. Варианты различаются структурой и динамикой объема производства по годам планового периода, а также приведенными затратами на их осуществление.

Оптимизация плана заключается в выборе из известных вариантов развития каждого предприятия таких, реализация которых позволяет обеспечить заданную потребность в сортовом прокате по годам планового периода с минимальными совокупными приведенными затратами.

Варианты развития предприятий I—Ill u потребность в сортовом прокате по годам планового периода

Для каждого предприятия может быть выбрано не более одного варианта реконструкции и развития.

· Задача 26.

На конец планового периода в экономическом районе для удовлетворения потребности этого района в прокате необходимо произвести 1100 тыс. т листового и 1000 тыс. т сортового проката. Производство проката возможно на трех предприятиях, для каждого из которых проработаны по два варианта их реконструкции, различающихся как затратами на их реализацию, так и структурой производства. Кроме того, установлены лимиты на потребление ресурсов двух видов.

Варианты реконструкции предприятий I — III и ограничения задачи

Необходимо выбрать для каждого предприятия такой вариант реконструкции, при котором обеспечивается производство листового и сортового проката на трех предприятиях в размерах, не менее заданных, при этом минимизируются суммарные приведенные затраты на производство.

Для каждого предприятия в решение включено не более одного варианта реконструкции.

· Задача 27.

В штатном расписании компании имеется определенное количество сотрудников. Для выполнения запланированных работ ей требуется нанять дополнительное количество новых сотрудников, которых следует принимать в течении года при условии, что каждый новый сотрудник должен пройти месячную стажировку. После окончания обучения стажеры зачисляются в штат компании. Оплата труда и месячный объем работ штатных сотрудников и стажеров приведены в таблицах. Необходимо спланировать прием стажеров так, чтобы обеспечить выполнение всех работ в полном объеме при минимальных затратах на оплату труда и при условии, что штатные сотрудники не будут уволены в течение полугодия. Дополнительное условие – не желательно привлекать стажеров в последний месяц рассматриваемого периода.

· Задача 28.

В таблице приведено количество продавцов, которое необходимо для удовлетворения покупательского спроса в торговом зале магазина в течение суток. Требуется так организовать расписание работы продавцов, чтобы их общее количество (и соответственно расходы на оплату их труда) было минимальным. Продавцы работают по 8 часов (в смену).

· Задача 29.

Составить наилучший график выпуска на линии автобусов, если организованы шестичасовые смены с перерывом между началом смен 2 часа. Исходные данные приведены в таблице.