Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии с надежностью 0,95

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объеме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

Интервальная оценка, доверительный уровень которой равен 95%, интерпретируется следующим образом: если из генеральной совокупности извлечь все выборки, имеющие объем n, и вычислить их выборочные средние, то 95% доверительных интервалов, построенных на их основе, будут содержать математическое ожидание генеральной совокупности, а 5% — нет. На практике, как правило, из генеральной совокупности извлекается только одна выборка, а математическое ожидание генеральной совокупности не известно. По этой причине невозможно гарантировать, что некий конкретный доверительный интервал содержит величину . Можно лишь утверждать, что вероятность этого события равна 95%.

Найдем доверительный интервал для среднего и среднеквадратического отклонения с надежностью 0,95. Для начала посчитаем значение аргумента функции Лапласа – t (Рисунок 16).

Рисунок 16. Функция Лапласа

Данная оценка для курса рубля равна 0,057960064.

Затем находим точность интервальной оценки для среднего значения по формуле:

(2.14)

Среднее генеральной совокупности, имеющей нормальный закон распределения, с доверительной вероятностью 1-a находится в доверительном интервале:

(2.15)

Таким образом получен доверительный интервал для математического ожидания (Рисунок 17).

Рисунок 17. Границы доверительных интервалов

Это значит, что математическое ожидание может находиться в пределах данного интервала при данном уровне надежности.

Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности (Рисунок 18). Оценкой для генеральной дисперсии является выборочная дисперсия. Доверительный интервал находится по следующей формуле:

(2.16)

Значения и находятся при помощи функции ХИ2ОБР(), исходя из следующих условий:

(2.17)

(2.18)

Рисунок 18. Нахождение левого и правого хи-квадрат значений

Таким образом получили доверительный интервал для дисперсии, представленный на Рисунке 19.

Рисунок 19. Доверительный интервал для дисперсии

Получили, что дисперсия выборки находится в интервале от 0,000756808 до 0,001762066.

Стоит вспомнить, что дисперсия отражает меру разброса данных вокруг средней величины, поэтому доверительный интервал показывает, что данные могут находиться в пределах найденного доверительного интервала.