![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Локальна теоремаЯкщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює
де
Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.
Доведення.Із (36) випливає, що
Очевидно, що при Із (37), (38) маємо:
Із (39), (40) випливає, що за досить великих значень n m » np, n – m » nq. (41) Для доведення теореми скористаємося формулою Стірлінга:
Використовуючи (42) для формули Бернуллі, дістаємо: де А = Коли n ® ∞, маємо:
Для дослідження поводження А при n ® ∞ прологарифмуємо (43)
Розклавши логарифмічні функції у виразі (44) у ряд Тейлора і обмежившись двома членами ряду, скористаємося (37) і (38):
При Отже,
а для великих, хоча й обмежених значень n
що й потрібно було довести. Властивості функції Гаусса: 1) 2) 3) 4)
5) Таким чином, х1 = –1, х2 = 1 будуть точками перегину. При цьому
Графік функції Гаусса зображено на рис. 15. Рис. 15 Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:
Отже, практично використовуються значення функції Гаусса для
Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.; 2) 300 шт.; 3) 320 шт.
n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.
2)
3)
Приклад 2. Імовірність того, що посіяне зерно ячменю проросте в лабораторних умовах, у середньому дорівнює 0,9. Було посіяно 700 зернин ячменю в лабораторних умовах. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть із цієї кількості зернин, та обчислити ймовірність цього числа. Розв’язання. За умовою задачі: Отже, шукане число m0 = 630. Відповідна ймовірність буде така:
|