Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Локальна теорема

Читайте также:
  1. Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
  2. Вещественные корни, теорема Штурма
  3. ВНЕШНИЕ ЭФФЕКТЫ. ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ. ТЕОРЕМА КОУЗА
  4. Вопрос 21 Теорема Коуза и проблема внешних эффектов (экстерналий). Выводы из теоремы. Российская приватизация в свете теоремы Коуза
  5. Вопрос 26. Теорема Коуза
  6. Глава 20. Теорема Байеса
  7. Дивидендная политика компании. Вторая теорема Модильяни-Миллера.
  8. Кинетическая энергия НМС в частных случаях движения. Теорема Кенига
  9. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) ІІ-го порядку. Теорема про структуру розв’язку
  10. Лінійні однорідні д. р. другого порядку із сталими коефіцієнтами. Теорема про структуру загального розв’язку

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (35)

де називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її значення наведено в дод. 1, де

. (36)

Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.

!

Доведення.Із (36) випливає, що

; (37)

. (38)

Очевидно, що при вирази (37), (38) прямують до нескінченності.

Із (37), (38) маємо:

; (39)

. (40)

Із (39), (40) випливає, що за досить великих значень n

m » np, n – m » nq. (41)

Для доведення теореми скористаємося формулою Стірлінга:

k . (42)

Використовуючи (42) для формули Бернуллі, дістаємо:

де А = . (43)

Коли n ® ∞, маємо:

.

Для дослідження поводження А при n ® ∞ прологарифмуємо (43)

. (44)

Розклавши логарифмічні функції у виразі (44) у ряд Тейлора і обмежившись двома членами ряду, скористаємося (37) і (38):

При маємо:

Отже,

,

а для великих, хоча й обмежених значень n

,

що й потрібно було довести.

Властивості функції Гаусса:

1) визначена на всій осі абсцис; ;

2) є функцією парною: ;

3) ;

4) ; ;

; ; отже, — максимум функції Гаусса;

5) .

Таким чином, х1 = –1, х2 = 1 будуть точками перегину. При цьому

; ; .

Графік функції Гаусса зображено на рис. 15.

Рис. 15

Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

; .

Отже, практично використовуються значення функції Гаусса для , що показано на графіку функції Гаусса (рис. 16).

Рис. 16

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Розв’язання. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1) ; ;

;

;

2) ;

;

3) ;

.

Приклад 2. Імовірність того, що посіяне зерно ячменю проросте в лабораторних умовах, у середньому дорівнює 0,9. Було посіяно 700 зернин ячменю в лабораторних умовах. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть із цієї кількості зернин, та обчислити ймовірність цього числа.



Розв’язання. За умовою задачі:

Отже, шукане число m0 = 630.

Відповідна ймовірність буде така:

;

;

;

.


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 13; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Формула Бернуллі | Властивості функції Лапласа
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты