Искажение линий и площадей в проекции Гаусса

Использование топографических планов и карт в инженерных изысканиях

Объектами изучения при проведении инженерно-геодезических изысканий являются ситуация и рельеф местности, основной результат этих изысканий - получение крупномасштабных карт и других документов (фотопланы, фотосхемы, профили) характеризующих район предполагаемого строительства.

Наиболее употребительными при инженерных изысканиях являются планы масштаба 1:5000 с сечением рельефа 1 м, планы масштабов 1:2000, 1:1000, 1:500, с сечением рельефа 0,5 м. В некоторых случаях, оговоренных в программе изысканий, при съемках в масштабах 1:5000-1:500 допускается высота сечения рельефа 0,25 м.

Топографические планы масштаба 1:10000 предназначаются для разработки проектов общей компоновки и планировки городов и поселков; выбора трасс дорог, ЛЭП и др.; выбора территории строительства гидротехнических сооружений и т.д.

Топографические планы масштаба 1:5000 служат основой для разработки генеральных проектов строительства крупных и средних городов, промышленных районов, сложных транспортных развязок и т.д.

Топографические планы масштаба 1:2000 используются для разработки генеральных планов и проектов (рабочих проектов) строительства малых городов, поселков городского типа и сельских населенных пунктов, схем вертикальной планировки и т.д.

Топографические планы масштаба 1:1000 применяются для разработки проектов (рабочих проектов) и рабочей документации застройки на незастроенной территории и территории с одноэтажной застройкой; разработки проектов вертикальной планировки и озеленения территорий и т.д.

Топографические планы масштаба 1:500 предназначаются для разработки рабочих проектов и рабочей документации многоэтажной капитальной застройки с густой сетью подземных коммуникаций, промышленных предприятий, отдельных зданий, улиц и др.

Основным строительным масштабом принято называть масштаб 1:500.

Виды планово-картографических материалов, используемых в землеустройстве, земельном кадастре, требования, предъявляемые к ним

Основными для составления проектов землеустройства, мелиорации, планировки сельских населенных мест, проведения земельного кадастра являются топографические планы, получаемые методами аэрофотосьемки и космической съемки, отличающиеся от планов наземных съемок объективностью и многообразием информации.

Топографические карты и планы для целей землеустройства и государственного кадастра недвижимости относятся к специализированным картографическим материалам. Их создают в масштабах 1:500-1:100 000. Основное содержание карт: изображение контуров сельскохозяйственных угодий, границ землевладений, землепользований и других сельскохозяйственных предприятий, а так же рельефа.

Рельеф на картах изображают горизонталями с высотой сечения, удовлетворяющей решению землеустроительных задач.

Карты земельных угодий необходимы для решения следующих задач: внутрихозяйственного и территориального землеустройства, государственного кадастра, противоэрозионной организации территории, планировки сельских населенных мест и др.

В связи с этим они должны удовлетворять следующим требованиям: иметь достаточную достоверную полноту отображения границ участков и объектов местности масштабными и внемасштабными знаками; обеспечивать достаточную точность отображения положения контурных точек; иметь достаточную точность отображения рельефа.

Для оперативного решения задач управления земельными ресурсами на основе съемочных, обследовательских и других материалов изготавливают районные сельскохозяйственные карты и атласы в масштабах 1:25 000 – 1:200 000.

Контурные (без изображения рельефа горизонталями) планы не используются для проектных решений, если рельеф является существенным фактором, требующим учета при проектировании.

Для обследований, рекогносцировок, обзорных целей, эскизных решений используются контактные или увеличенные аэрофотоснимки и фотосхемы.

Планы стереофотограмметрической наземной (фототеодолитной) съемки применяют в значительно всхолмленной, предгорной и горной местностях. Рельеф на этих планах изображается с большей точностью, чем на планах стереофотограмметрической аэрофотосъемки и наибольшее применение они находят для составления проектов рекультивации земель, при изучении процессов водной эрозии, при террасировании склонов и др.

Планы теодолитных съемок, еще реже выполняемых для землеустройства, достаточно точны только в тех точках, которые действительно снимаются и положение их определяется величинами, указанными в абрисах. Все же остальные точки, расположенные на контурах, проводимых между снятыми точками, часто имеют большие ошибки, являющиеся результатом обобщений, допускаемых при съемке. Поэтому, теодолитные съемки выполняют на небольших площадях, с редкой контурностью, с густой сетью теодолитных ходов, позволяющих производить проектирование аналитическим способом и надежно переносить проект относительно точек теодолитных ходов. В этом случае масштаб плана не влияет на точность работы, так как все величины, необходимые для проектирования и перенесения проекта в натуру, получают из измерений на местности. Изображение рельефа на планы теодолитных съемок может быть перенесено с планов государственных съемок.

Крупномасштабные планы тахеометрических съемок, используются обычно для рекультивации нарушенных земель, террасирования и выполаживания склонов, противоэрозионных мероприятий, строительства гидротехнических сооружений и др.

Крупномасштабные планы нивелирования поверхности, позволяющие детально изучить рельеф на небольших участках в равнинной местности, используются при проектировании и планировке поверхности рисовых чеков, аэродромных полей, спортивных комплексов, строительных площадок и др.

Цифровые модели местности (ЦММ), представляющие совокупность точек с числовыми выражениями пространственных (плановых и высотных) координат, расположенных по определенному правилу, например, в вершинах сетки квадратов, прямоугольников, равносто­ронних треугольников, на параллельных линиях, горизонталях, водо­разделах, водотоках и др., с необходимой точностью и детальностью описывают топографическую поверхность. ЦММ, составляемые по материалам наземных или воздушных съемок, служат основой для автоматизации инженерных расчетов при проектировании с применением ЭВМ и для составления банка данных, т. е. информационной системы, собирающей, хранящей, пополняющей и преобразующей топографическую информацию о земной поверхности, в целях опера­тивного использования ее при решении инженерных задач.

Проекты землеустройства, как правило, составляются на фотопланах и их репродукциях (светокопиях), а также на штриховых планах (без фотоизображения) или на копиях с них, изготовляемых фотомеханическим способом как наиболее точным и производитель­ным по сравнению с другими способами.

Понятие о точности, полноте и детальности планов (карт)

Планы и карты, полученные в результате различных видов съемок, имеют не одинаковую детальность и полноту.

Под детальностью понимают степень подобия изображения на плане всех изгибов и извилин контуров ситуации и рельефа. При отсутствии детальности говорят, что изображение ситуации и рельефа на плане (карте) обобщено. Обобщение (генерализация) происходит при дешифрировании фотоматериалов, рисовке рельефа и при на­земных съемках.

Под полнотой понимают степень насыщенности плана объектами местности , изображение которых на плане необходимо и при данном масштабе и высоте сечения рельефа возможно. Для числового выражения степени детальности и полноты требуются исследования.

Этими качествами в наибольшей степени обладают планы (карты), получаемые методом аэрофотосъемки (космической) съемки, выгодно отличающиеся от планов, получаемых другими методами.

Рельеф, зарисованный на материалах аэрофотосъемки горизонталями, отличается наибольшей детальностью, поскольку фотографическое изображение местности облегчает распознавание форм и элементов рельефа и дает возможность правильно отобразить их на плане, хотя изображение рельефа горизонталями при помощи стереофотограмметрических приборов требует от исполнителя большого производственного опыта и главным образом опыта мензульной съемки рельефа.

Планы фототеодолитной съемки обладают хорошей детальностью и полнотой, но в несколько меньшей степени, чем планы аэро­фотосъемки.

Детальность и полнота планов нивелирования поверхности зависят не только от сложности ситуации и рельефа, но и от размера сторон квадратов.

Детальность и полнота ЦММ зависят от способа их составления, т. е. от способа получения числовых выражений пространственных координат точек и от степени обобщения (генерализации) при съемке наземными методами или использовании материалов наземных и воз­душных съемок.

Под точностью плана (карты) понимают величину среднем квад-ратической погрешности положения контурной точки на плане отно­сительно ближайшего пункта главного геодезического обоснования съемки (считая, что погрешности положения пунктов съемочного обоснования являются составной частью средней квадратической погрешности положения контурной точки).

Погрешность положения точки (пункта) является двумерной и опре­деляется формулой

(4.1)
в которой m_x и m_y —погрешности координат точки, т. е. погрешности
положения точки по осям координат.

При оценке точности плана в среднем, направление сдвига контурной точки принимают равновероятным, поэтому точность положения контурной точки характеризуют кругом погрешностей и для расчета точности значения m и m в формуле (4.1) принимают равными и независимыми одна от другой. В связи с этим, если

, (4.2)

где m_k—средняя квадратическая погрешность координаты точки, то согласно (4.1)

и . (4.3)

Точность положения контурных точек на планах

Точность планов различных видов съемок, вообще говоря, различна. Это объясняется различием приборов и технологических процессов, применяемых при съемках. Но различие точности планов отдельных видов съемок при правильном их проведении невелико, и практически их можно считать одинаково точными, потому что ряд элементов, составляющих технологический процесс того или иного вида съемки, имеет погрешности, которые могут быть приравнены графической точности (0,1 мм на плане), например, погрешности нанесения точек и линий на план, построения углов на плане, трансформирования аэрофотоснимков, монтажа фотопланов и др. Эти погрешности в значительной степени сближают точность планов.

Для получения погрешности положения контурных точек на плане погрешности отдельных элементов в технологическом процессе можно принять независимыми и сложить по формуле

(4.4)

при этом искомые погрешности для теодолитной и мензульной съемок получатся примерно одинаковыми и равными округленно 4м при масштабе 1: 10000, т.е. 0,4мм на плане.

Согласно многочисленным исследованиям примерно такой же точностью обладают планы аэрофотосъемки.

В инструкции по топографической съемке в масштабах 1:10000 и 1:25000 (Москва, Недра – 1978 год) указывается, что средние погрешности в положении на карте четких контуров и предметов местности относительно ближайших точек планового съемочного обоснования не должны превышать: 0,5 мм - при создании карт равнинных и всхолмленных районов с уклонами местности до 6°; 0,7мм - при создании карт горных и высокогорных районов.

С укрупнением масштаба плана погрешности положения контурных точек на плане увеличиваются. Для планов масштабов 1:2000, 1:1000 и 1:500 погрешности положения контурных точек следует увеличивать в 1,25.

Несколько меньшей точностью обладают копии планов по сравнению с оригиналами (здесь имеются в виду копии, составляемые на плотной чертежной бумаге, так как копии на восковке и кальке вследствие большой деформации этих материалов обладают большими погрешностями). Какие бы способы копирования ни применялись, всякая копия содержит большие погрешности, чем оригинал, при этом одни способы копирования дают менее точные, другие- более точные результаты. Наиболее точным способом, при применении которого точность копии практически можно считать равной точности оригинала, является фотомеханический (а также ксерокопии), особенно если учитывается деформация бумаги как копии, так и оригинала.

Точность изображения расстояний, направлений, площадей, превышений и уклонов на планах и картах

Точность изображения расстояний на плане.Если отдельные контурные точки на плане имеют погрешности положения, то расстояние между этими точками будут определены с погрешностями, независимо от способа их измерения.

Средняя квадратическая погрешность отображения расстояния S_{1 2} между точками 1 и 2 определяется по формуле

. (4.5)

Если , то . (4.6)

Если положение точек 1 и 2 определено путем измерений на плане с одного и того же съемочного пункта или эти точки расположены на одном снимке фотоплана, то погрешность их взаимного положения можно рассчитать по формуле

, (4.7)

где r₁₂ – коэффициент корреляции, характеризующий зависимость взаимного положения точек 1 и 2 на плане. Приближенное значение коэффициента корреляции близко к величине , поэтому оценка погрешности отображения линии между точками на плане с учетом зависимости будет примерно в 1,4 раза меньше, чем при независимом определении положения этих точек.

г_[2 =0,5, поэтому оценка погрешности отображения линии между точками на плане с учетом зависимости будет примерно в 1,4 раза меньше, чем при независимом определении положения этих точек.

Точность отображения направления линий и угла между линиями. Точность отображения направления линии на карте (плане) характеризуют средней квадратической погрешностью дирекционного угла α_{1 2} линии, проходящей через контурные точки 1 и 2, и рассчитывают по формуле

,

где ρ'=3440', а соответствует величине (4.7).

Когда определение положения точек 1 и 2 зависимо, то при оценке точности направления линии учитывают коэффициент корреляции г₁₂, т. е.

.

Среднюю квадратическую погрешность угла β₂, заключенного между линиями, направленными из точки 2 на точки 1 и 3, можно рассчитать по формуле

.

Точность отображения площадей земельных участков. Среднюю квадратическую погрешность отображения на карте (плане) площади участка, имеющего форму близкую к квадрату, можно рассчитать по приближенной формуле

, (4.8)

а для участка имеющего форму вытянутого прямоугольника

,

где Р – число квадратных сантиметров, соответствующих площади фигуры на плане; κ - коэффициент, характеризующий соотношение длин сторон прямоугольника.

Так при соотношении сторон один к трем, т.е. κ =3 или κ = 0,33, средняя квадратическая погрешность отображения площади вытянутого прямоугольника на плане увеличится примерно в раза по сравнению с квадратом.

Площади земельных участков часто выра­жают числом га на местности, в этом случае среднюю квадратическую по­грешность отображения площади на плане тоже принято рассчитывать и выражать в га; тогда формула (5.8) примет следующий вид

,

где Р – число целых га, соответствующее площади этого участка на местности, М - знаменатель численного масштаба карты (плана).

Для приближенного учета вытянутости участка и зависимости взаимного положения точек контура можно воспользоваться фор­мулой средней квадратической погрешности отображения площади

, (4.9)

где r — коэффициент корреляции, равный примерно 0,5.

Точность превышений и уклонов, определяемых по плану. Превышения и уклоны линий между точками определяют по плану с горизонталями, изображающими рельеф местности.

Среднюю квадратическую погрешность превышения h между точками 1 и 2 с высотами Н₁ и Н₂, равного можно вычислить по формуле

.

получим

. (4.10)

Формулу (4.10) можно применить в том случае, если Н₁ и Н₂ высоты точек, которые определены независимо одна от другой, т. е. по несмежным горизонталям, для проведения которых использованы разные пикеты. Однако на погрешность положения каждой горизонтали при малых высотах сечения рельефа влияют, главным образом, погрешности из-за топографической ше­роховатости и обобщения рельефа, поэтому формулу (4.10) можно применить для вычисления средней квадратической погрешности превышения по плану во многих случаях практики.

При небольших расстояниях между точками эти погрешности позволяют считать величины Н₁ и Н₂ коррелированными, вследствие чего более правильно в таких случаях принимать или

. (4.11)

Среднюю квадратическую погрешность уклона, определяемого по горизонталям плана, можно получить исходя из известной формулы

. (4.12)

Прологарифмировать выражение(5.12) , затем продифференцировав полученное выражение и перейдя от дифференциалов к средним квадратическим погрешностям получим

.

Однако относительная погрешность определения расстояния по плану в несколько раз меньше относительной погрешности определе­ния превышения, поэтому можно принять

, (4.13)

т. е. с какой относительной погрешностью получаем превышение, с такой же относительной погрешностью получаем и уклон. Учитывая (5.12), из формулы (5.13) получим

. (4.14)

Формула (5.14) показывает, что точность определения уклона уменьшается с уменьшением расстояния S.

Искажение линий и площадей в проекции Гаусса

Проекция Гаусса—Крюгера равноугольная поперечно-цилиндрическая. Если план составлен на плоскости в проекции Гаусса—Крюгера, то длины линий и площади участков, измеренных на плане или вычисленных по координатам точек, всегда больше соответствующих горизонтальных проложений этих же линий и площадей на местности, т.е. масштаб изображений линий в проекции Гаусса—Крюгера всегда крупнее того масштаба, который принят для составления плана. При этом укрупнение масштаба тем больше, чем дальше линия или участок расположены от осевого меридиана зоны.

Известно, что линия, измеренная на местности, при перенесении (редуцировании) ее на плоскость Гаусса—Крюгера должна быть увеличена в соответствии с выражением

, (4.15)

где S — горизонтальное проложение линии на местности; y — ордината (расстояние от осевого меридиана); R — средний радиус кривизны земного сфероида равный 6370 км.

Величину называют относительным искажением линии. Значение ординаты на краю шестиградусной зоны в средних широтах России приблизительно равно 200 км (для широты 53^º), в южных широтах (40^º) эта величина превышает 250 км.

При y = 200 км величина относительного искажения линии составит примерно , при y = 100 км оно приблизительно равно .

Таким образом, искажением линии в проекции Гаусса—Крюгера можно пренебречь за исключением краев шестиградусных зон.

Искажение линий вызывает соответственно и искажение площадей участков. Проекция Гаусса—Крюгера равноугольная (конформная), поэтому для небольшого участка в несколько тысяч или десятков тысяч гектар его изображение в проекции Гаусса—Крюгера можно считать подобным горизонтальному проложению на местности с площадью.

Значение площади этого участка на местности P и полученнон по плану в проекции Гаусса-Крюгера P₁ будут относиться как квадраты сходственных сторон т.е. , или на основании формулы (4.15)

.

Тогда, умножив числитель и знаменатель на и пренебрегая малыми порядка и меньше, получим

(4.16)

где - относительно искажение площади, которое в два раза больше относительного искажения линии. Для небольших площадей поправку можно не учитывать, а для больших площадей ее следует учитывать только на краях шестиградусных зон.

Принципы выбора масштабов и высоты сечения рельефа в зависимости от назначения планов и карт

Масштаб съемки и высота сечения рельефа определяют содержание и точность нанесения ситуации и рельефа на топографический план (карту).

Масштаб съемки и высота сечения рельефа определяют содер­жание и точность нанесения ситуации и рельефа на топографиче­ском плане или карте.

С увеличением масштаба топографической съемки и умень­шением высоты сечения рельефа повышается точность планов и карт и подробность изображения на них ситуации и рельефа местности.

Основным услови­ем правильного выбора масштаба съемки и высоты сечения рель­ефа является соответствие между точностью плана или карты и требуемой точностью проектирования и перенесения проекта в натуру.

Факторы, влияющие на выбор масштаба съемки, делятся на производственные, природные, технические и экономические.

Выбор масштаба съемки и планов регламентируется нормативными документами, учитывающими специфику отдельных видов строительства. Для отдельных стадий проектирования устанавливают два или три масштаба съемки и плана.

Для предрасчета масштаба съемки с учетом требований проек­тирования к размещению зданий и сооружений в натуре при гра­фическом способе подготовки проектных данных можно использо­вать формулу:

,

где - строительный допуск на размещение объектов в натуре; - графическая точность масштаба плана; М — знаменатель масштаба съемки.

Для обоснования выбора масштаба топографической съемки при составлении кадастрового плана и др. и отражения в нем досто­верных данных количественного учета земель используется критерий допустимой погрешности определения площади участка; при этом расчетный знаменатель масштаба съемки определяется как

,

где S - средняя площадь оцениваемого участка, га; т_s — допустимая погрешность определения площади (в процентах), зависящая от таких факторов, как балльная оценка сельскохозяйственных земель, стоимость городских земель и др.

Высота сечения рельефа определяет точность изображения рельефа и влияет на качество работ, особенно проектов вертикальной планировки. Высоту сечения рельефа устанавливают в зависимости от масштаба плана и характера рельефа местности с таким расчетом, чтобы горизонтали на плане не сливались между собой, рельеф изображался с достаточной точностью и легко читался.

Для топографических планов и карт масштабов 1:5000 - 1:25 000 высоту сечения рельефа можно рассчитать по формуле:

мм,

где М — знаменатель численного масштаба плана.

Так, для масштаба 1:10 000 величина h, рассчитанная по этой формуле, составит 2 м, для масштаба 1:5000 — 1 м.

Высоту сечения рельефа можно также определить из соотношений:

или .

Где средняя квадратическая погрешность определения превышений при съемке; т_н — средняя квадратическая погрешностьопределения отметок точек по горизонталям на плане.

В зависимости от характера рельефа местности (равнинный, всхолмленный, пересеченный, горный и предгорный) для каждого масштаба съемки приняты 2 - 4 значения высоты сечения рельефа: для масштаба 1:5000 - 0,5 - 5,0 м; 1:2000 - 0,5-2,0 м; 1:1000 и

1:500 - 0,5-1,0м.

В исключительных случаях, при съемках подготовленных и спланированных площадей с максимальными преобладающими углами менее 2° допускается принимать высоту сечения рельефа 0,25 м. На значительных по площади участках съемочного планшета, где преобладающие углы наклона местности различаются на 2° и более, разрешается применять две высоты сечения рельефа. На |участках, где расстояния между основными горизонталями превышают на плане 2,5 см, для изображения характерных деталей рельефа следует обязательно использовать полугоризонтали.

Масштаб карт и высота сечения рельефа зависят от видов землеустроительных работ и изменяются в следующем диапазоне:

Деформация топографической основы и ее учет при планометрических работах

При определении линий и площадей по плану графическим или механическим способом (при помощи измерителя, планиметра и палеток) необходимо учитывать деформацию бумаги. Величина деформации характеризуется коэффициентами деформации, определяемыми в двух взаимно перпендикулярных направлениях, по формуле

, (4.15)

где l₀ – теоретическая длина линии, значащаяся на плане, например, длина сторон нескольких квадратов координатной сетки; l – результат измерения этой линии по плану.

Пример: l₀=3000м, l=2985м; тогда =0,005 = + .

Коэффициент деформации бывает различен: 1:400, 1:200,1:100 и даже 1:50. Величина его зависит от сорта бумаги, условий хранения плана, погоды, времени, которое прошло с момента составления плана и др.

Бумага, наклеенная на алюминий или высокосортную фанеру, практически не деформируется, а бумага, наклеенная на полотно деформируется сильнее, чем ненаклеенная.

Копии с планшетов, отпечатанные на машине, деформируются во время печати, причем в направлении движения бумага растягивается, а в поперечном направлении сжимается. Через некоторое время деформация бумаги несколько уменьшается, но все же остается значительной. Особенно сильно деформируется бумага от свертывания в трубку или складывания.

Если бумага деформируется в двух взаимно перпендикулярных направлениях одинаково, то учесть деформацию нетрудно. При неравномерной деформации учет ее затрудняется, если заданная линия направлена под углом к линиям координатной сетки.

Горизонтальное проложение линии на местности l₀ определенное по плану с учетом поправки за деформацию рассчитывается по формуле

l₀=l+lq, (4.16)

где lq - поправка к линии l, обусловленная деформацией бумаги.

Пример: l=296,3м, q=+1/100; l₀=296,3+296,3/100=299,3м.

Если поправка в линию меньше точности масштаба, то ее не вводят в результат измерения линии по плану.

По линиям, исправленным за деформацию бумаги, вычисляют площади фигур. Однако значительно проще вычислять поправки в площади фигур, определенные по результатам измерений линий на деформировавшемся плане.

Площадь участка любой формы Р₀ с учетом деформации бумаги можно вычислить по формуле

Р₀=Р+2Рq, (4.17)

где Р- площадь участка вычисленная по результатам измерений на плане без учета деформации; 2Рq- поправка в площадь Р, обусловленная деформацией бумаги.

Если в двух взаимно перпендикулярных направлениях (вдоль осей координат) коэффициенты деформации неодинаковы и оказались например, q_х = +1/200 и q_у = -1/100, то можно вычислить среднее значение коэффициента деформации которым можно пользоваться, применяя формулу (5.17).

,

Пример: Р=126,4 га, q=1/200; Р₀=126,4 – 2·126,4/200=125,14 га.

В формуле (5.16) можно использовать средний коэффициент деформации, если q_х и q_у отличаются не более чем на 20%, в противном случае коэффициент деформации определяют в направлении, параллельном линии, в которую надо ввести поправку.